CHAPITRE IV. — DES LIGNES C0UHBB

.,.379. La méthode précédente n'est qu'approchée; mais en voici une antre tout - à fait rigoureuse, et qui sera commode surtout pour les cintres des voûtes.

Concevons sur le géométral la diagonale AN do demi-carré et la perpendiculaire SV ; on aura évidemment

ASxAN=R', AN* =ÂB' -l-BN'^R', et par suite,

AS X AN = i AN' , ou AS = \ AN , d'où A V = £ AB.

Par conséquent, lorsqu'on aura tracé sur le tableau le carré perspectif A' B'E'T', il suffira de tirer A'N', de prendre av= jo6, puis de tracer la dr fournira le point S' de l'ellipse, situé sur la diagonale A'N'. Cette vS'P, combinée avec N'F', donnerait un second point correspond) géométral ; et l'on trouverait semblable ment les perspectives des d etU en prenant bw = \ab, puis en tirant les droites Vtv, L'B' et L'

aura donc quatre points du cercle perspectif, lesquels joints aux qui r ,

H', N', Q', déterminés comme au n° 374 , formeront huit points et quatre tangentes , ce qui est bien suffisant pour tracer l'ellipse sans recourir au plan géométral.

380. (Fig. a.) Diviser le cercle perspectif L'G'M'H' N' en parties perspeciivement égales. Sans recourir au géométral, il suffira de décrire un demi-cercle sur L'N' comme diamètre ; on le divisera en parties absolument égales , et l'on abaissera les ordonnées correspondantes ; puis, en joignant les pieds de ces ordonnées avec P, ces lignes convergentes iront marquer, sur l'ellipse donnée , des divisions perspectivement égales. En effet, ces lignes partageront ab et L'N' en parties proportionnelles; donc elles sont les perspectives des ordonnées qui, sur le diamètre LN, correspondraient à des arcs égaux sur le géométral LGMHN

Ce problème peut servir à fixer les cannelures d'une colonne isolée , ou à distribuer régulièrement les colonnes qui soutiendraient une coupole spbérique.

381. (Pi. 18, fig, 10.) Trouver la perspective d'un hexagone régulier, dont un côté est parallèle au tableau.

On peut aussi tracer cette perspective sans construire le géométral , en se donnant la grandeur ab du premier côté, et sa distance ad au tableau; car si, après avoir tiré Va etP6,je mène la droite 3D, on sait (n° 303) que cette dernière déterminera une profondeur A'a=o3, de sorte que A'B' sera la perspective du côté donné. Ensuite , comme la diagonale BH formerait avec BG an angle de 3o*, si je rabats l'œil en ff et que je tireO'F de manière à former un angle PO'F=3o", le point F sera le point de fuite de cette diagonale , laquelle aura ainsi pour perspective B' F. Cette dernière droite coupe A' P au point H ' qui me permet d'achever le rectangle perspectif A'B'G'H'; et la diagonale A'G' me fournit le centre Ç' par lequel je mène une horizontale indéfinie qui, combinée avec G' F et A'F, déterminera les deux derniers sommets E' et K'.

132 LIVRE II. — FBBSPBCT1VB UMBAIBB.

D'ailleurs, on peut remarquer que comme le point 1 ast le milieu du rayon G# paraHèle au tableau, on doit avoir C'1'=I'E' en grandeur absolue. En outre, les côtés K' H' et B'E' doivent concourir vers un point de fuile F' situé à une distance PF'=PF.

Si l'on n'avait pas de rapporteur pour fojpner l'angle P0'F = 3o% on pourrait construire an triangle équilatéral *5y, et mener O'F parallèle géométrale au côté &/.

582. Trouver ta perspective d'un octogone régulier, dont un côté est parallèle au tableau.

Soit encore ab la grandeur de ce côté , et b S sa distance au tableau ; a, Vb et D3, on déterminera, comme ci-dessus, la perspective A' B' du 1 Ensuite, pour avoir le côté xy du carré circonscrit , qui nous servira ixiliaire, je décris sur ab une demi-circonférence, et je prends les disoX égales à la corde bu" qui sous-tend un quart de cercle , ce qui me donne la vraie longueur XY du côté de ce carré. Alors les droites PX et PY, combinées avec le prolongement de A'B', déterminent deux sommets x 1 et y' de ce carré perspectif, et on l'achève aisément au moyen de sa diagonale Da/ qui fournit le sommet %' et le côté x! h'. Cela posé, ce dernier côté détermine les sommets H' et K' de l'octogone, et les droites DK', DH', DA', DB' fournissent les quatre autres sommets L', M', G' et E'. D'ailleurs les points M', I', E', doivent être sur une parallèle à XY, aussi bien que L', S' et G', ce qui fournira des vérifications.

383. Nous avons dit (n° 375) que la perspective d'un cercle était toujours une jlltpse ; mais cet énoncé n'exclut pas le cas où cette ellipse aurait ses deux axes égaux , et deviendrait conséquemment un cercle. Or cela arrive évidemment quand le cercle original est dans un plan parallèle au tableau, puisqu'alors le cône des rayons visuels est coupé par un plan parallèle à sa base ; mais sans rien changer an tableau ni au point de vue, le cercle peut prendre nne seconde direction dans laquelle sa perspective se trouvera encore circulaire.

{PI. 1 8 , fig. 4.) En effet , soit OAB un cône dont la base est le cercle AEB que nous regarderons comme horizontal; en abaissant sur le plan de cette base une perpendiculaire OZ et tirant le diamètre CZ, nous déterminerons un plan OZC qui fournira les deux arêtes particulières SA et BS , et qui se nomme le plan principal du cône , attendu qu'il divise évidemment en deux parties égales toutes les cordes de cette surface qui lui sont perpendiculaires. Cela posé , si l'on coupe le cône par un plan YXY perpendiculaire au plan principal, et qui soit incliné de telle sorte que sa trace verticale YX fasse un angle A' K égala OBA, je dis que la section A'MB' ainsi obtenue sera un cercle.

Pour le démontrer, par un point quelconque M de cette courbe , menons un plan parallèle à la base; ce plan coupera le cône suivant un cercle GMH, et la section donnée suivant une droite MQ évidemment perpendiculaire sur le plan princi-

CHÀPITB#IV. — DBS LIGNES CODMES. 133

{Mil OÂB; de sorte que MQ sera une ordonnée commune aux deux courbes, et perpendiculaire sur les deux diamètres GH et A' B'. Alors dans le cercle GMH , on aura

(0 MQ' = GQxQH;

mais les deux triangles A'GQ et B'HQ'ëtant semblables d'après la condition admise plus haut, que l'angle OA'B' égale OBA, on aura la proportion

GQ:B'Q::À'Q:HQ,

laquelle change l'équation (i) en celle-ci :

(a) MQ^A'QXB'Q.

Par là, on voit que chaque ordonnée de la section A' MB' est moyenne proportion* nelle entre lès deux segments du diamètre A'B' qui lui est perpendiculaire; donc cette section est un cercle. Elle est connue sous le nom de section antiparallèle , parce que le triangle OB' A' étant retourné, aurait sa base A'B 7 parallèle à AB.

38b. (Fig. 5.) D'après cela, étant donnés un cercle AEB dont je regarde le plan comme horizontal, et un point de vue Odans l'espace, si je veux .trouver un tableau tel , que ce cercle y soit représenté par un autre cercle , j'abaisserai la verticale OZ dont je joindrai le pied avec le centre C, par le diamètre GZ qui déterminera les deux arêtes OA, OB, formant la section principale du cône; sur ces arêtes, je prendrai Oct=OA , 06 = OB, et je tracerai la droite ab; alors, en menant un plan YXY perpendiculaire au plan principal OAB , et dont la trace VX soit parallèle à ab, je serai certain que sur ce tableau VXY la perspective de AEB sera un autre cercle A'B', puisque les deux conditions du n° 383 seront entièrement remplies.

Réciproquement, si Ton assignait le cercle original AEB avec la position VXY du tableau, il serait aussi facile de trouver la situation que doit avoir le point de vue , pour que la perspective de AEB fût encore un cercle. On commencerait alors . par mener, du centre C, un plan vertical GZO perpendiculaire à la trace horizontale XY du tableau donné; ensuite, on mènerait dans ce plan vertical une première droite AA' de direction arbitraire, puis une seconde droite BB' formant un angle ABB' = AA'X, et ces deux lignes AA', BB', étant prolongées jusqu'à leur rencontre 0, détermineraient ainsi le point de vue demandé. Mais on voit qu'ici le problème est susceptible d'une infinité de solutions, puisque la première droite À A' a été menée sous une inclinaison arbitraire.

385. C'est sur le théorème du n° 383 qu'est fondé le genre particulier de perspective employé dans les Mappemondes, et qui est connu sous le uom de projection siéréographique ; on se propose alors de trouver un tableau et un point de vue tels, que tous les cercles d'une même sphère aient pour perspectives d'autres cerclée,