CHAPITRE IV

DBS LIGNES COUBBBS.

seule. En effet, après avoir imaginé le rayon visuel qui aboutit au sommet inférieur du méridien en qaestion , rabattons le plan vertical de ce rayon autour du diamètre horizontal EOe de Téquateur; alors le point de vue se transportera évidemment en P : le sommet du méridien considéré se rabattra sur le cercle horizontal Epe , et à une distance eh de 3o° ; donc PL sera le rabattement du rayon visuel. Or, comme il rencontre la charnière Ee au poiut m, qui restera immobile quand on relèvera le plan , il s'ensuit que ce point m est l'intersection du tableau avec le rayon visuel ; donc m appartient à la perspective^ cherchée, laquelle est ainsi déterminée par les trois points P, m, p (*).

De même, pour le méridien qui fera un angle de 5o° avec l'horizon, il suffira de tirer la droite P-5o, qui déterminera le point n de la perspective Vnp.

Considérons maintenant un parallèle situé à 3©° de i'équateur EOe, et qui dès lors passerait par les points G et L qui appartiendront aussi à sa perspective. Si nous imaginons le rayon visuel qui aboutirait au sommet inférieur H de ce petit cercle , et que nous rabattions le plan vertical Op de ce rayon autour de Taxe des pâfes Pop, ou doit voir que le poiat de vue se transportera en E , et que le sommet H se rabattra en L : donc EL sera le rabattement du rayon visuel. Or, comme ce rabattement rencontre la charnière Pp en h , et que ce point restera immobile quand on relèvera le rayon visuel , il s'ensuit que h est l'intersection de ce rayon visuel avec le tableau ; donc il appartient à la perspective demandée , laquelle est un arc de cercle suffisamment déterminé par les trois points G, A, L (**)•

Par ces procédés , on obtient aisément la perspective des portions de parallèles et de méridiens situés sur l'hémisphère inférieur; quant aux moitiés supérieures de ces cercles , qui seraient représentées par les prolongements 4es arcs Pny, G AL, comme elles dépasseraient le contour EPip, on trouve plus avantageux d'en tracer la perspective à part , en conservant le même tableau XY, mais en plaçant le point de vue a l'extrémité opposée (O , (?) du diamètre perpendiculaire à ce tableau» De sorte que sur une mappemonde , c'est ta concavité de chaque hémisphère qui est présentée aux Tegards de l'observateur.

387. {Fi g. 7.) La projection stéréographique jouit encore de cette propriété, que deux cercles ou même deux coûtées quefamquee *T# coupent mus le même angle que sur la sphère; ainsi les méridiens 0t tes parallèles qw. se coupent à angles droits sur la sphère , formeront aussi des angles droite sur le tebleau de perspective. En effet ,

(*) On détermine le centre directement : r par les deux arêtes principales PL et VI" du cône; *• par le théorème ci-dessus on mène Pu" perpendiculaire au plan L<", parce que le cône circonscrit-est ici un cylindre.

(+*) On détermine le centre directement : i° en menant les deux arêtes principales du côoe EL et EG, on a les deux extrémités A et h" du diamètre du cercle perspectif; a° par la tangente en G au méridien , attendu qu'ils se coupent à angle droit ; ou bien (théorème) le centre «» est la perspective du sommet du cône circonscrit le long du parallèle G Ai, projeté sur GL.

156 LIVRE II. — PEfiSPBCTiVB LINÉAIRE. -

soient MT et MS deux tangentes à la sphère ; leurs perspectives sur le tableau VXY perpendiculaire au rayon 01, seront les intersections M'T' et M' S' de ce tableau avec les plans OMT et OMS ; or ces derniers plans coupent la sphère suivant deux petits cercles M «0 et M 60 qui ont pour tangentes MT et MS; ils coupent aussi le plan tangent en suivant deux droites OT et OS qui sont encore tangentes à ces petits cercles, et évidemment parallèles à M'T' et M' S', d'où il suit que l'angle TOS égale T'M' S'. Mais si Ton tire TS, les deux triangles MTS et OTS seront égaux, attendu que TM = TO et SM = SO , puisque- ce sont des tangentes à un même cercle et issues d'un même point deux à deux ; donc l'angle ÏMS est égal à l'angle TOS , et par suite égal à T' M 7 S' ; ce qu'il fallait démontrer.

Perspective de Portes voûtées.

388. (Pf. 19, fig. 1.) Cette porte est vue de face, ainsi que le montre le géométral , qui est tracé ici sur une échelle réduite , et seulement pour indiquer la situation des données et la direction des lignes auxiliaires que nous emploierons ; a' bl et g' h! sont les largeurs véritables des pieds-droits , lesquels sont à une distance du tableau marquée par b' X', et ont une profondeur égale à X' Y'. Alors en tirant les lignes Pa', P6', Pjr', P* 7 , et les droites à 45° DX', DY', on déterminera aisément les. rectangles perspectifs À'B'E', G' HT, qui représentent les bases de ces pieds-droits ; car on sait (n° 303) que 6'B' et 6'E' sont perspectivement égales à b' X' et b 1 Y'. Ensuite , si b' b" est la hauteur absolue du pied-droit , la ligne b 1 ' P déterminera les hauteurs dégradées des arêtes verticales B'B" et E'E" ; et les deux autres arêtes G' G", K' K", seront égales à celles-là , comme étant deux à deux dans le même plan de front ; de sorte que B" G" K" E " représentera le rectangle qui est à la naissance de la voûte.

389. Quant aux deux cintres opposés de la porte , puisqu'ils sont dans des plans parallèles au tableau , ils resteront circulaires en perspective (n° 383), et on tes obtiendra en décrivant deux demi-cercles sur les diamètres B" G" et E" K". On trouvera semblablement les joints verticaux de la voûte , en divisant d'abord X 7 Y' en trois parties égales par des droites issues du point D , lesquelles marqueront sur B' E ; les pieds des verticales qui fourniront sur B" E" les origines de ces demicercles ; mais il faudra les interrompre de deux en deux assises. Observons aussi que tous ces cercles devront être touchés par la tangente P9 , car cette droite est évidemment l'intersection du tableau avec le plan tangent mené par l'œil au cylindre qui forme l'intrados de la voûte ; or ce plan contenait les tangentes de ces circonférences ; et comme il passe par l'œil du spectateur, toutes les perspectives de ces droites se réduisent à sa trace P9 , laquelle devra donc (n° 373) être tangente aux perspectives des cercles situés sur ce cylindre.

390. La hauteur absolue a a" de la face antérieure étant donnée , on en déduira