CHAPITRE IV. — DU LIGNES GOURBIS

précisément pour perspective la section Vu , et conséqaemment (n* 373) la droite V« doit être tangente à la perspective B' M' 1/ E' du cercle original.

Perspective d'une Voûte d'arêtes.

402. (PL ao, fig. i.) La voûte ainsi nommée est formée par la rencontre de deux berceaux on demi-cylindres horizontaux , qui ont le même plan de naissance et la même montée; ici nous supposerons, comme cela arrive le plus ordinairement, que les bases des deux cylindres sont des cercles de même rayon, et que les pieds-droits sont réduits à quatre pilastres représentés , sur le géométral , par les petits carrés ARG,FEH,... dont l'ensemble compose aussi un grand carré AFUV. Cela posé, les deux cylindres qui forment l'intrados des berceaux , auront pour bases les cercles LR' S' Q et br' s' e, rabattus ici sur le plan de naissance , mais qu'il faut se représenter comme relevés dans les plans verticaux LQ et be ; et je dis que ces cylindres se couperont suivant deux courbes planes, projetées sur les diagonales 61 et KH, et qui seront conséquemment des ellipses. En effet , si nous considérons les génératrices qui partent des quatre points R', S', rV, situés tous à la même hauteur au-dessus de la naissance, les projections horizontales S m et «m de deux d'entre elles se rencontreront en un point m pour lequel on aura HD = Dm , attendu que ES = es comme abscisses qui répondent à des ordonnées égales dans deux cercles égaux ; or, puisqu'on a aussi HG = GK, il s'ensuit que les trois points H, m, K, sont en ligné droite. De même les projections RN et rN des deux autres génératrices, se rencontreront en un .point N situé sur la droite HK , parce qu'on aura aussi évidemment HP = PN ; donc tous les points de cette première branche d'intersection seront projetés sûr la droite HK , et conséquemment cette branche sera une courbe située dans le plan vertical HK.

Mais les deux cylindres offriront une seconde branche d'intersection , parce que les projections des mêmes génératrices se rencontreront encore aux points M et n t que Ton démontrera semblablement être situés sur la diagonale GI; donc cette seconde branche sera aussi une courbe plane, située dans le plan vertical GI.

403. Toutefois , pour employer ces cylindres à former l'intrados d'une voûte dont les pieds-droits se trouvent interrompus de K en I et de G en H, de K en G et de I en H , il faut évidemment supprimer toutes les portions intérieures de ces surfaces, c'est-à-dire les parties de génératrices projetées sur Mm et Nw, MN et mn\ de sorte qu'il ne restera que les portions marquées ici en trait plein , lesquelles présentent le sommet saillant de l'angle qu'elles forment , tourné vers l'observateur placé en G sous la voûte , et contribuent ainsi à donner aux deux, ellipses l'aspect de deux courbes d'arêtes très-saillante^ d'où est venue la dénomination attribuée à ce genre de voûtes.

W)ù. (PL 20> Jig. 2.) Ces préliminaires une fois posés, occupons-nous de la

14S iîfHB II. — PERSPECTIVE! LINEAIRE.

perspective de cette voûte , en prenant pour tableau la face antérieure elle-même ; mais nous éviterons d'avoir recours au géométral qui n'a été tracé dans la Jîy. i que pour indiquer au lecteur la forme de l'objet proposé. Marquons donc sur la base XY, les côtés donnés AB et EF des pilastres , et soient P et D le point principal et le point de distance; alors les droites PA, PB, PE, PF, combinées avec la diagonale AD, détermineront les trois points G, I, U, qui suffiront pour achever, avec des parallèles à XY, les perspectives ABG, EHeF, IftUQ, KLV, des bases des quatre pilastres. On pourra d'ailleurs, comme vérification , recourir à l'autre diagonale FV qui devrait aboutir au point de distance situé à gauche.

405. Nous supposons qu'il existe ici , sur le géométral , un cercle inscrit dans le carré GHIK, et qui est rendu sensible par les compartiments du pavé , ou par le bord d'un bassin placé sous la voûte. Pour obtenir la perspective de ce cercle , en suivant le procédé du n° 374, traçons seulement une demi-circonférence sur le diamètre BE; tirons les diagonales cg, cft, et les droites Xp,fzq>, qui sont les côtés du carré inscrit dans cette circonférence. Ces dernières auront évidemment pour perspectives Pp et P<?; donc la rencontre de ces lignes avec les deux diagonales GI et HK fournira déjà quatre points de l'ellipse demandée. Ensuite-, la verticale Pc et l'horizontale menée par le point C', représentant évidemment deux diamètres du cercle original , feront connaître les quatre points dans lesquels l'ellipse doit toucher les côtés du carré circonscrit GHIK ; de sorte qu'on aura ainsi huit points et quatre tangentes de cette ellipse, ce qui est bien suffisant pour la tracer avec toute la précision désirable. Au surplus, nous avons dit au n° 374 comment on pourrait se procurer de nouveaux points , aussi nombreux qu'on le voudrait , et de quelle manière on déterminerait les axes de cette ellipse (n° 376).

406. Revenons maintenant à la voûte d'arêtes; et, après avoir élevé les verticales BB', EE\ égales à la hauteur absolue des pieds-droits , traçous le demi-cercle B'ZE' pour représenter le cintre de la porte antérieure qui, étant situé dans le tableau même , doit conserver sa grandeur originale ; ensuite , traçons les droites B' P et E' P qui seront évidemment les perspectives des deux génératrices du cylindre placées à la naissance du berceau , et auxquelles devront se terminer conséquemment les arêtes verticales des pilastres GG', KK', LU, et HH', II', QQ'. D'ailleurs si , sur l'horizontale L'<y comme diamètre, on décrit un demi-cercle, ce sera la perspective du cintre de la porte postérieure , puisque ce cintre étant dans un plan parallèle au tableau , doit rester circulaire en perspective (n° 383).

407. Quant aux deux ellipses qui forment les courbes d'arêtes (n° 403), considérons d'abord celle qui est dans le plan fuyant AGID , et dont les naissances sont aux points G 7 et I'. Si nous coupons le cylindre antérieur par un plan horizontal quelconque TRS, nous obtiendrons deux génératrices perpendiculaires au tableau, dont les traces sont évidemment les points R et S , et qui ont pour perspectives RP et SP; mais le même plan horizontal a dû couper l'ellipse d'arête suivant une

CHAPIME IV. — DBS LIGNES C0URBBS, l'l3

corde inclinée à 45° 8 or le tableau, et qui viendra percer ce plan au point T, puisque AT est l'intersection du tableau avec le plan vertical AGID de cette ellipse; donc TD est la perspective de cette corde de l'ellipse, et conséquemment les points M et s où elle ira rencontrer les deux génératrices RP et SP, appartiendront à la perspective de l'ellipse en question.

408. On pourra répéter cette construction pour divers plans horizontaux ; et si on l'applique au plan T'Z qui touche le cylindre antérieur suivant une génératrice ayant pour perspective ZP, on obtiendra la perspective C du sommet de l'ellipse originale, point où la courbe G'MCnl' devra toucher la droite T'D (n°373), parce que cette ligne représente une corde qui est devenue tangente au sommet de l'ellipse originale. Ainsi , puisque la tangente T'D est inclinée à l'horizon , G ne sera pas le point le plus élevé de la perspective ; mais nous enseignerons bientôt (n° 412) à trouver ce point culminant a'.

/MM). Pour l'autre ellipse d'à ré te qui est dans le plan fuyant FHK, et dont les naissances sont en K' et H', il suffit, sans recourir au second point de distance, de ramener le point M en m sur la génératrice SP, par le moyen d'une horizontale qui représente une génératrice du cylindre parallèle au tableau ; et semblablement on ramènera le. point n en N sur la droite RP, ce qui permettra de tracer la nouvelle ellipse H m CNK X .

&10. (PL ao, fig. a.) Quant au cintre de la porte latérale,, situé dans le plan fuyant FP, c'est un demi-cercle dont le diamètre horizontal ira percer le tableau sur la verticale FF', et à la même hauteur que B'E' ; donc F' est la trace de ce diamètre qui aura conséquemment pour perspective indéfinie FP; puis, comme nette ligne .rencontre les arêtes ee' et bb' des pilastres aux poinJLs e' et b\ ce seront là les naissances de ce demi-cercle.

Maintenant considérons deux, points quelconques, situés à la même hauteur sur le cercle latéral, par exemple ceux qui.se trouvent dans le plan horizontal RSi; la droite qui réunira ces points sera évidemment perpendiculaire au tableau , et elle viendra percer ce plan sur la verticale. FF ', au point t; donc Pi sera la perspective de cette droite. Ensuite, si nous rabattons le cercle latéral sur le tableau, autour de la verticale FF', il est clair que les deux points en question viendront coïncider avec R et S du cercle antérieur (*) ; d'ailleurs, pendant ce quart <te conversion, les points cherchés décriront deux arcs de cercle dont les cordes seront nécessairement deux horizontales inclinées à l\ 5° sur le tableau : donc les perspectives de ces cordes sont les lignes RD et SD qui, en coupant P* , détermineront les points inconnus r et s.

On pourrait aussi trouver le point s en combinant la droite Pi avec l'horizontale

H Gela se voit bien sur Ifrgéométral (fig. i ) , où Ton a F* = FB et Fr = PU, attendu que Ips deux cylindres sent égaux et que le pilastre 481-canré.

144 LIVRE II. — PERSPECTIVE LIltémB.

menée par le point m déjà construit; car ces deux pointe s et m doivent être sur une même génératrice du cylindre latéral, ainsi que n et r.

411. Ce mode de construction , qui peut se répéter pour tous les points du cintre latéral , étant appliqué au sommet de ce cercle , fera trouver le point 2 par la combinaison des deux droites ZD et t'P, dont la dernière devra toucher la courbe b'rzse', attendu qu'elle est la perspective de la tangente au sommet du demi-cercle original. D'ailleurs, puisque la tangente *'P est inclinée à l'horizon , z ne sera pas le point le plus élevé de la perspective ; mais nous enseignerons bientôt à construire ce point culminant 6'.

Pour le cintre de la porte latérale située à gauche, on pourrait opérer d'une manière semblable , en recourant au second point de distance ; mais il sera plus simple de transporter symétriquement à gauche, au moyen de droites horizontales, les résultats trouvés pour la courbe b'rzse'.

412. Des points culminants. Les deux ellipses qui forment les courbes d'arêtes de la voûte, et les deux cercles des portes latérales, étant situés tous sur le cylindre dont les génératrices sont parallèles à XY, si nous menons du point de vue un plan tangent à ce cylindre , ce plan renfermera une tangente à chacune des quatre courbes en question ; et ces quatre tangentes auront pour perspective commune l'intersection du tableau avec ce plan tangent : donc , en premier lieu , cette intersection devra (n° 373) être tangente aux perspectives des quatre courbes. Ensuite, comme le plan tangent dont il s'agit renfermera une arête du cylindre latéral qui est parallèle à XY, il ne pourra couper le tableau que suivant une droite aussi parallèle à XY, et conséquemment horizontale; donc , enfin, cette intersection sera bien une tangente horizontale commune aux quatre perspectives , et ainsi elle devra contenir les points culminants que l'on cherche.

413. Pour construire le plan tangent dont nous venons de parler, faisons-lui faire un quart de révolution , ainsi qu'au cylindre latéral qu'il touche , et au point de vue, autour de la verticale C'C élevée par le centre C' de la voûte d'arêtes. Cette verticale est projetée en C sur le géométral de la fig. 1 ; et Ton y voit clairement que , par ce mouvement , le cylindre latéral sera venu coïncider avec le cylindre antérieur, et aura ainsi pour trace sur le plan vertical de la fig. 2, le demi-cercle B'ZE'. Il est aussi évident que le point de vue se sera rabattu en un point qui se projettera sur l'horizontale PD, à une distance

PO // =PW + PD;

par conséquent, si l'on tire du point 0" la tangente 0"«, ce sera la trace et même la projection verticale du plan tangent demandé. Or ce plan coupe , suivant une horizontale projetée en 9 , le tableau primitif qui , par le mouvement de conversion, est venu se projeter actuellement suivant la droite FF"; et quand le système aura repris sa première position , on voit bien que cette horizontale deviendra 0<|>

GHAP1TBB IV* — DBS tIGffBS G0URBB8. lft&

parallèle à XY. Donc la droite 0<|/ est précisément l'intersection du tableau primitif avec le plan tangent mené par le point de vue an cylindre latéral ; ainsi cette droite sera la limite commune que doivent toucher les quatre ellipses qui représentent les courbes d'arêtes et les deux portes latérales (*).

414. Ce résultat suffit ordinairement pour bien tracer ces quatre ellipses; mais si Ton veut fixer avec précision les points de contact, tels que «' et 6', il faut observer qu'après le quart de conversion , le cylindre latéral est touché par le plan tangent mené du point de vue, suivant une génératrice perpendiculaire au tableau primitif, laquelle est projetée en a sur la fig. 2 , et en <x6" sur la fig. 1 . On voit ainsi que * {fig. 1) est le point de contact de ce plan tangent avec l'ellipse d'arête, et 6" le point de contact avec le cintre de la porte latérale à droite; puis, quand on ramène le système dans la position primitive, le point *" vient nécessairement en a {fig. 1), attendu que l'angle a"CV est droit; c'est-à-dire que ce point de contact demeure sur la même génératrice a&" où il était d'abord. Or, comme cette droite a pour perspective «P sur la fig. 2 f c'est bien la rencontre de cette dernière ligne avec 0<]/ qui donnera la perspective a du point culminant sur le tableau.

M5. Quant au point de contact 6" (fig. 1), il reviendra évidemment en €', lorsque le quart de conversion employé ci-dessus sera détruit. Ainsi ce point de contact 6' se trouvera situé sur une perpendiculaire au tableau AF , laquelle viendra percer ce plan sur la verticale F, et à la même hauteur que le point «. Donc, sur lajfy. 3, cette perpendiculaire au tableau sera représentée par S P, et sa rencontre avec 0<|< donnera la perspective 6' du point culminant pour le cintre de la porto latérale.

416. Venons maintenant à la partie supérieure de la voûte d'arêtes (fig. a), qui a pour contour un carré dont A" F" est un côté , et qui est couronnée par un bandeau saillant, en forme de parallélipipède rectangle. Les côtés latéraux de ce carré, étant perpendiculaires au tableau , auront pour perspectives indéfinies A"P et F"P; puis, la diagonale A"D déterminera, par sa rencontre avec F"P, le sommet U" qui doit d'ailleurs se trouver sur l'arête verticale UU"; et enfin l'horizontale U^V* fermera le carré cherché.

417. Quant au bandeau saillant qui a pour base un carré concentrique avec A"F"U"V", on prendra A"X et F"ft égales chacune à la saillie que Ton veut donner au bandeau; et les droites XP y pP, seront les perspectives des côtés perpendiculaires au tableau. La diagonale A" D prolongée rencontrera le côté XP au point a, et l'autre côté ftP au point u; alors a et « seront deux des angles du carré cherché afuv , lequel sera bien facile à achever.

(*) Si le point 0" se trouvait k une distance incommode, on pourrait prendre seulement

P5=jPD + |PW, et fc = {P»;

car le point 1 ainsi obtenu serait évidemment le centre , et •» le rayon, du cercle qu'il faudrait décrire pour trouver le point de contact « de la tangente 0"«; de sorte qu'avec ce point a on saurait mener cette tangente, sans employer le point 0".

r édU. 10

Ikmr le carré: supérieur* du bandaa» v on prendra sur U/t^leauilatoogueur XX 7 ég»toà 1* hauteur absolue* du. bandeau; ,el la. droite X'R ira >couper la verticale ou', a** fmat-a- qui sera un soumet» du; carré sup&ieur, Lequel s'achèvera en tirant r horizontale a'f, la verticale jjff; et. la droite:/ P;, puis enfin, les verticales uu' etar 7 .

YmUî dmêieuavee plusietrs* travée**

bfc&t. (jft/é.ao, jij. 3.) Après* avoir, marqué sur la base XY. du tableau, les. p*i«ts a t bt^ej.f, où aboutiraient les cotée prolongés des pieds-droits, ,qui auront pour* perspectives les lignes Pa, P6, Pi, P/, ou prendrai aX égale à la distance du ta* Weau à. oes: pieds-droits, et Ton sait (n° 303) que la diagonale XD fournira une profondeur a A égale perspectivemeat à aX ? de sorte que AB et EF représenteront le» frasa : antérieures des deux premiers pilastres. D'ailleurs la même diagonale DX feumirailes points G.,. I, U,, lesquels suffiront avec. les parallèles GH, IK, UL ? pour. détermine* leebasesrdes quatre premiers pilastres , et il (faudra élever des verticales par toustles: angles de cesr bases» Ensuite , après. avoir pris XX' égale à la hauteur Q& se trouve la. naissance de la voûte, la diagonale X'D coupera les arêtes verticales* des pilastres? en. des pointa A y , G', I', qui suffiront pour tracer les joints de iurâeanceti&B', EF.BG l/, KH!!', Enfin, sur la distance B'E', comme diamètre, a» décrira: le (ternir cercle. B' ZE' qui représentera Le cintre de la porte antérieure} maisr celui de Ja; porte apposée ne devra. plus ici s'appuyer. sur les. points L' et Qf : il faudra te: reculer jp&tyu'Àt l'extrémité de la. dernière travée, à. moins qu'il u existât un #rp doubiea*cpi\ servit-de renfort à la voûte, entre deux travées consécutives; xmiA oese&i laides détails trop minutieux pour nous y. arrêter , et q\ie le. Dessinateur saura bien. reproduira aisément, .quand ils se. rencontreront sur l'objet orignal;

bi9b. Quant aux deux- ellippesncpû forment les courbes (f.aréie de la première travée, ou îles obtiendra» comme au n° 407, en traçant les génératrices du cylindre RP, SP, et la diagonale TD, ce qui fournira les points M; et n* et par suite les. points »etN;, de.socte.q,ue.ces-CQurbes d'arêtea seront représentées. par G'MC'nl' et HL' roC'NK'.. Nous pa rie roo& -des- -points culminante de ces. courbes au n° 2§23>

&ÎQ. Venons maintenait àJai seconde travée. Un pourrait trouver le point X" où ta base du tableau, est rencontrée, par la diagonale de cette travée, et pour, cela il suffirait de prendre* » à tgancha de X, une longueur XX"=oe; mais comme ce point X" (qui n'est pas marqué sur #etre; épure]) se trouverait. à une distance incommode , il vaut mieux obs e rve r que far diagonal e cherchée devrait passer par le point L déjà construit, de sorte qu'elle a pour perspective LD. Alors cette dernière droite coupant les lignes Pe et Vf aux points V et u. on peut achever la base \qu du troisième pilastre à droite, et en déduire les sommets W et 7 du piastre correspondante gauche; ensuite, on élèvera par tous oe&sommets des verticales qui de-

CHÀFÏTM5 IV. — MS LIGNÈ8 ' COURBES. '44*7

vront se terminer aux droites BT etE'P; et enfin, sur l'q' connue diamètre, on décrira un demi-cercle V xq f qni représentera le cintre de la porte postérieure.

S'il y avait eu une troisième travée, on anrait trouvé les pilastres qui la termineraient , en tirant la diagonale D/ et opérant comme ci-dessus.

421. Quant aux ellipses qui forment les courbes d'arêtes de cette seconde travée, j'observe que l'une d'elles est projetée horizontalement suivant LV, et qu'elle a deux points M' et n' situés sur les génératrices RP et SP du cylindre antérieur. Or ces deux génératrices sont projetées horizontalement suivant pP et <*P; donc tes points p et v où ces droites vont couper LV, détermineront les verticales qui fourniront les points demandés M' et n', d'où l'on déduira ensuite les points correspondants m' et W sur l'autre ellipse d'arête. Mais ce procédé ne s'appliquerait pas au sommet c" de ces deux ellipses, et d'ailleurs il donne lieu à des résultats graphiques assez incertains , par suite cle l'obliquité des verticales sur les génératrices RP et SP; c'est pourquoi nous allons donner une méthode plus générale, plus exacte et plus directe.

422. La corde de l'ellipse qui réunit les deux points inconnus W et n', est une horizontale à 45°, projetée sur LVD, et qui va conséquemment couper l'arête LL' du second pilastre à la même hauteur absolue que le plan horizontal RS ; donc, si je prolonge RS jusqu'en B" et que je tire B"P; cette dernière ligne me fournira sur LL' le point X où aboutit la corde de l'ellipse dont nous venons de parler. Par conséquent cette corde a pour perspective XD , laquelle coupera RP et SP aux deux points demandés M' et n\ d'où l'on déduira ensuite les points m' et N' de l'autre ellipse de la même travée.*

Ceci s'applique à telle génératrice du cylindre que l'on voudra ; et en considérant spécialement la génératrice ZP, il faudra tirerla perpendiculaire au tableau B w P qui coupera la même verticale LL' au point X", lequel sera situé à la hauteur du plan horizontal B'"Z , donc X*D sera la perspective de la tangente au sommet de l'ellipse, et elle coupera ZP au point demandé C", dans lequel l'ellipse •L /, M'C"n'V' devra être touchée par X"D. L'autre ellipse de la même travée sera Q'm'C'N'W'.

423. (PL 20, fig. 3.) Des points culminants. D'après les raisonnements exposés au n° 442, il faut trouver l'intersection du tableau vertical XY avec un plan tangent mené , du point de vue , au cylindre latéral de la première travée. Pour cela , faisons tourner tout le système autour de la verticale élevée par le centre C de cette travée; et après un quart de conversion, le cylindre latéral viendra coïncider avec Le berceau principal; de sorte qu'il coupera le plan vertical XY suivant le demi-cercle b'z'é, dont ietdiamètre Ve 1 se détermine en prolongeant les génératrices PB' et PE' jusqu'à leur rencontre avec la ligne de terre X 7 Y' tracée à la naissance de la voûte. Dans ce mouvement de révolution , le point de vue ne sort pas du plan d'horizon , et il se rabat dans une position qui se projette verticalement en (y, à une distance PO 7 =PD + *Y; car -cette dernière ligne «Y, qui s'obtient en

148 UVBJJ IL -— PBaflPBCTIVB UltéAIV.

tirant la diagonale CHF inclinée à 45% est la vraie grandeur (n° 303) de la distance perspective C* du tableau au centre de la travée. Gela posé, la tangente 0' a sera la trace verticale du plan tangent cherché; et comme le tableau primitif est devenu , après le quart de conversion , le plan YY' perpendiculaire à la droite XY, son intersection avec le plan tangent est donc actuellement F horizontale projetée verticalement au point : donc , quand on ramènera le système dans sa position primitive , cette horizontale deviendra Sep qui devra toucher (n° 412) les deux ellipses de la première travée , et suffira bien pour limiter les arcs culminants de ces deux courbes. D'ailleurs, si Ton tenait à avoir le point culminant lui-même, on sait (n* ftift) qu'il serait donné par la droite *P (*)•

4%. Pour obtenir les points culminants des courbes d'arête L'C'V et W'C Q', il faudra aussi concevoir un plan tangent mené, du point de vue, au cylindre latéral de la seconde travée ; puis , faire tourner ce cylindre autour de la verticale élevée par le centre C, de cette travée. Après un quart de conversion , le cylindre, latéral en question viendra encore percer le tableau vertical XY suivant le demicercle 6'zV, mais le point de vue se rabattra ici à une distance PO"=PD + *Y"; car cette dernière ligne zY", qui s'obtient en tirant la diagonale C,Q, est la vraie grandeur (n° 303) de la distance perspective C t z du tableau au centre de la secoude travée : au surplus , cette distance peut être censée connue en mètres , d'après les dimensions des pilastres et leur éloignement du tableau. Cela posé, on mènera la tangente 0"<%", laquelle représentera la trace verticale du plan tangent déplacé par le quart de conversion ; et comme ce même mouvement aura transporté le tableau primitif dans la situation Y" Y w perpendiculaire à XY, son intersection avec le plan tangent sera une droite projetée verticalement au point G"; d'où Ton conclura, comme ci-dessus , que l'horizontale 0'V est la tangente commune qui doit limiter les deux ellipses d'arêtes de la seconde travée. Quant au point culminant <y" lui-même , il serait donné par la droite a" P.

425. Pour une troisième, une quatrième,. •• travée, il suffirait d'augmenter PO" d'une fois, deux fois,... la distance constante (VO", mais en reculant aussi la verticale Y"Y"' d'une fois, deux fois,... l'intervalle constant YY" =&&.

(•) On aurait pu ramener les constructions à s'effectuer sor le cercle B'ZE' lui-même, qui représente une section du cylindre en question , mais située dans le plan de front ABEF, et non pas sur le tableau XY. Dans ce cas, il faudrait d'abord chercher le point <*>' où ce plan de fropt ta couper la droite horizontale projetée verticalement en 0', et qui est la trace du plan tangent sur le plan d'horizon ; or cette trace a une projection horizontale dont la perspective est 0P, laquelle est coupée par Je plan de front AP au point *> ; donc la verticale •»' fournira la perspective «' du point cherché , et la tangente *>'«' sera la perspective de l'intersection du plan tangent avec le plan de liront AF. Observons ensuite que ce plan tangent couperait la face latérale FP suivant une horizontale qui partirait du point 0', et qui deviendrait ô'ç après un quart de conversion contraire; or je dis que cette droite *'? doit coïncider avec la ligne t? trouvée dans le texte, attendu que ces lignes sont les perspectives de deux droites différentes, mais situées dans un même plan qui passe par l'œil.

CHAP1TBB IV. — DBS UGMS C0CBBBS. ! à9

Autre voûte <f arêtes à plusieurs travées.

426. (PL 2 1 .) Pour exercer le lecteur , nous placerons encore sous ses yeux la perspective d'une voûte d'arêtes, en supposant que le point de vue est de côté , et projeté en P sur le tableau. Comme les constructions reposent précisément sur les mêmes principes que dans les figures précédentes, nous allons indiquer les opéra* lions graphiques d'une manière très-succincte.

Après avoir marqué les perspectives Pa , Vb , Pe , P/, des plans fuyants qui comprennent les deux files de pilastres, on prend aX égale à la* distance où Ton veut placer le premier pilastre derrière le tableau , et la diagonale XD détermine les points A, G, I, W, et les plans de front ABEF, GH, VI, WU; de sorte qu'il est facile d'achever les bases des quatre premiers pilastres. Pour les autres , on tire la diagonale VD qui détermine , sur Peet P/, deux points par où l'on conduit les plans de front des pilastres suivants, et ainsi de suite. Par tous les angles de ces bases , on élève des verticales dont on fixe les longueurs dégradées au moyen , i° des horizontales Y'P, Y" P, menées à des hauteurs /Y', /Y" assignées par la question ; 2° des droites F'A" et A"P, FA' et A'P; enfin, on trace le demi-cercle B'ZE'.

427. Cela posé, les deux génératrices RP et SP du berceau principal, étant coupées par la diagonale TD , fournissent deux points M et n de l'ellipse d'arête G'MCitl'; et Ton en déduit, par des horizontales, les points m et N de l'autre ellipse K'NCmH'; d'ailleurs le point G où elles se coupent, est donné par une construction semblable faite pour la génératrice ZP.

Le. cintre circulaire Q'rzsV de la porte latérale de droite s'obtient en combinant la corde Pi de ce cercle avec les deux diagonales RD et SD , ce qui fournit les points r et s f lesquels doivent d'ailleurs se trouver sur les mêmes horizontales que N et n, M et m. Ces horizontales fourniront aussi, sur TP, les deux -points r" et s" du cintre de la porte latérale à gauche ; et ces deux cercles devront être tangents en % et z" aux droites PT' et Pf'. Enfin , ces deux cercles et les deux ellipses d'arêtes auront une tangente horizontale , commune aux quatre courbes, laquelle se déterminerait comme au n* 423.

428. Pour la seconde travée, on prolongera la corde tsr jusqu'au point q où elle rencontre la verticale QQ' : ce point q sera celui où cette corde perce le plan de frout YQ ; par conséquent l'horizontale qap ira déterminer, sur les génératrices RP et SP du berceau principal , les points p et a par lesquels il faudra tirer les diagonales pr'D et a*'D, qui couperont la corde Pf en deux points r' et s' appartenant au cintre circulaire de la porte latérale de cette seconde travée. Ce cercle sera aussi tangent à la droite Pi'; et les horizontales rV et * V" fourniront les points r m et «'" appartenant à la porte située à gauche, laquelle sera tangente à PT'.

Quant aux deux ellipses d'arête de cette travée , dont une seule offre ici une

portion visible, on mènera par le point s' l'horizontale $'m', qui coupera la génératrice SP au point m' situé sur l'ellipse cherchée, dont les points de naissance sont d'ailleurs évidents. La tangente «horizontale qui contient les points culminants de cette ellipse et ceux des deux portes latérales , s'obtiendrait comme nous l'avons expliqué au n° 424.

429. Enfin, la corniche de la galerie, qui se compose ici d'un Talon et d'un filet rectangulaire, se construira en portant sur l'horizontale Y"X", la saillie donnée a n e du talon, et la droite Pe coupera X"D au point « par lequel on mènera les lignes «y et aJP. De même, après avoir pris X"X'" égale à la hauteur du talon, et a w b m égale à la saillie de sa partie supérieure, les droites X'"D et b m P fourniront l'angle S par lequel on mènera les lignes SX et 6e. Quant à la courbe a6 , dont la forme originale est composée de deux arcs de cercle qui se raccordent et qui ont leurs tangentes extrêmes verticales (voyez PL 7), si ses dimensions étaient assez grandes pour exiger qu'on la construisît rigoureusement , il n'y aurait qu'à répéter pour plusieurs de ses points , ce que nous avons fait pour « et 6. Le filet rectangulaire qui vient ensuite , s'obtiendra semblablement d'après sa hauteur et sa saillie qui seront données par la question.

Pour l'angle à droite, toutes les horizontales ont la même saillie qu'à gauche, pourvu que Ton mesure celte saillie à partir des lignes a"P et Y"P, ou de leurs analogues dans les divers plane horizontaux que l'on considère.

Au-dessus de la corniche s'élève un attique, c'est-à-dire un petit tour à hauteur d'appui, lequel sert à masquer le comble qui est très-surbaissé, ou même dallé en plate-forme ; mais ces contours rectilignes qui sont d'aplomb avec le parement du mur, n'ont pas besoin sans doute d'explications détaillées.

Escalier en perron.

430. [PL 22.) Soient plusieurs marches circulaires 'ÀBE, FGH, IKL, qui conduisent à une terrasse, en arrière de laquelle se trouve une porte pratiquée dans un mur de face ; chacune de ces marches est un cylindre droit qui a pour base un demi-cercle, et nous allons en chercher les perspectives sur le tableau vertical 5tY, après avoir transporté ce tableau en X'Y' , et y avoir marqué le point principal P et le point de distance D.

Suivant la méthode expliquée au n° 374 , nous tracerons sur le géométral les côtés et les diagonales des carrés circonscrit et inscrit an cercle ÀBE , et sur le tableau les droites Pa, Pm, PY', Pn, Pc, qui représenteront les côtés et le diamètre perpendiculaires à ce plan. Ces droites 'étant coupées par la diagonale X'D, fourniront d'abord les trois points x', M', C, par lesquels on mènera des parallèles à XY, qui feront connaître les points B', N' f À' et E'; de sorte que l'on aura cinq

GHAP1TAK IY. — DES LIGNES COURBES. 151,

points de la demi-ellipse A'M'B'N'E' avec trois, de ses tangentes, ce qui suffit pour la tracer exactement.

431. Pour déduire de là, le cercle qui forme la base supérieure du cylindre de la première marcbe, je prends la verticale Y' Y" égale à la hauteur absolue de cette marche (hauteur qui doit être environ la moitié de la largeur AF, et ordinairement égale à i5 ou 16. centimètres, estimés sur l'échelle du dessin) , et la droite Y"P me fera connaître la longueur dégradée de l'arête verticale B'B" du cylindre, et celle de l'axe qui devient C'C*; puis , en menant par le nouveau centre C" une parallèle à XY, je détermine les deux points A" et E". Quant au point M", je pourrais semblablement prendre X'X" égale à la hauteur absolue de la marche, et la diagonale X"D couperait la verticale M' M" au point cherché; mais je puis éviter cette construction, en m'appuyaut. sur le principe démontré au n° 275; car si je transporte le point M r en m', dans le même plan de front, on sait que la verticale m'm" comprise dans l'échelle de dégradation Y"PY', marquera la longueur dégradée que doivent avoir les deux verticales M'M" et N'N", ce qui me fournira les deux points M" et N" de la courbe cherchée A"M"B"N"E".

432. Cette ellipse et la précédente doivent avoir une tangente commune T'T" qui sera verticale, et qu'A importe beaucoup de savoir déterminer directement, parce que sans cela on ne parviendrait pas à limiter les deux ellipses d'une manière satisfaisante pour l'œil. Or, cette verticale étant le contour apparent du cylindre, nous l'obtiendrons en menant, par le point de vue, un plan tangent au cylindre droit ABE ; il faudra donc prendre sur le géométral une distance pO égale à PD> et du point Q, tirer la tangente OTj alors la verticale T sera le contour en question , et .pour trouver sa perspective , il suffit d'observer que cette droite étant dans un plan qui passe par l'œil , elfe a pour perspective Tinterseclion du tableau XY avec ce plan vertical OT, c'est-à-dire la verticale 0. Donc, en tirant la droite indéfinie 8T'T" perpendiculaire àXY, ce sera la limite cherchée que doivent toucher les deux ellipses qui terminent la première marche.

. 433. On pourrait trouver étonnant que cette droite verticale T, qui est bien loin d'être tangente au cercle horizontal ABE, ait une perspective T'T" qui soit tangente à A'B'E'; mais cela tient à ce que la véritable tangente T9 et la verticale T sont toutes deux dans un même plan passant par l'œil, et ont dès lors une perspective commune T'T", laquelle doit être conséquemment tangente à l'ellipse A'B'E' (n° 373). La même raison s'applique à l'ellipse A"B"E T/ qui représente le cercle supérieur dont la vraie tangente, projetée sur T9, est aussi contenue dans le même plan que les deux droites dont nous venons de parler.

43k Pour les marches suivantes, nous pourrions nous borner à dire qu'il faut répéter des constructions toutes semblables, en opérant sur une ligne de terre plus 1 élevée que X' Y' de une, deux,. .. hauteurs de marche ; mais on peut simplifier ces opérations par les remarques suivantes. D'abord, en doublant, triplant,... la haii-»

158 LIVRE II. — PBBSPECTIVB UltfAIU.

leur C'C, on aura les centres C"\ C nrf ,... des différents cercles qui terminent les inarches successives , et Ton pourra mener par ces centres des horizontales indéfinies F^CH", rC"L'\ Ensuite, la tangente au point F du cercle inférieur FGH, allant percer le tableau en /sur X"Y", elle aura pour perspective P/, laquelle déterminera le point F', et par suite la verticale F'F"; puis, en prenant C // H / =C /)r F' et élevant la verticale H'H", on fixera les extrémités des deux cercles de la seconde marche. La droite GR menée à 45° aura pour perspective R'D, laquelle fournira le point G ; qui serait la perspective du sommet G si ce dernier était situé sur le géométral ; mais comme il est élevé d'une hauteur de marche , je tire la verticale G'G* terminée à Y"P, et en doublant cette hauteur G'G", j'obtiens les sommets G "et G"' des deux cercles de cette seconde marche. Semblablement, la perpendiculaire au tableau \v sera représentée par Pt> , laquelle coupe X'D au point V'; et en élevant la verticale V'V" terminée à X"D, pais doublant cette hauteur, j'obtiendrai les points V" et V w des deux ellipses cherchées, qui seront enfin F'V'G'H' et F" V W G W H". Ces deux courbes devront aussi avoir une tangente commune qui sera verticale, et que l'on déterminera, comme pour la première marche, en tirqnt la tangente OT, et une verticale indéfinie par le point 0,.

&35. On opérera semblablement pour la troisième marche, en prenant iï égale à trois hauteurs de marche, et tirant Pi' qui fournira le point I 7 et la verticale ri"; puis, en prenant C W L / =C /// I / ', et élevant la verticale L'L". Pour les points E etW on cherchera d'abord les perspectives K' et W de leurs projections sur le géométral, comme on le lit sur notre épure; puis, on triplera les verticales élevées par ces projections, et comprises dans les échelles de dégradation PY"Y' et DX"X ; .

436. Venons à la porte , dont la baie est figurée sur le géométral par le rectangle <%6yd. Les côtés aS et yi iront percer le tableau en deux points X et p , situés à trois hauteurs de marche, et auront ainsi pour perspectives indéfinies les lignes PX et Pp; puis, pour fixer leur grandeur apparente, il faudrait (n* 303) porter sur l'horizontale Xç une longueur égale à la distance Ya> du point <% au tableau, et joindre l'extrémité de celte longueur avec Dpar une droite qui couperait XPau point * perspective de a. Mais comme ces constructions s'étendent trop loin, nous emploierons la réduction indiquée au n*335; c'est-à-dire qu'après avoir rapproché l'œil à une distance Prf moitié de PD , nous prendrons X<p égale à la moitié de Yo> , et la droite yd ira couper XP au même point * qu'aurait donné la méthode directe. Semblablement , nous prendrons <$ égale à la moitié de la profondeur «6 , et la droite tyd coupera PX au point 6' perspective de 6. Alors en tirant les horizontales «'/ et 6'3' jusqu'à leur rencontre avec Pp, on fixera le côté y'<î' de l'autre pied-droit; et les verticales <%'<x", y 'y", se détermineront d'après la hauteur absolue des pieds-droits, hauteur qu'il faudrait porter sur les verticales élevées par les points X et p. Mais il sera plus simple d'examiner quel rapport existe entre la largeur et la hauteur de la porte originale , qui sont deux dimensions situées dans