CHAPITRE IV. — DES LIGNES COURBES. l5l

comme horizontal, et un point de vue O dans l'espace, si je veux trouver un tableau tel que ce cercle y soit représenté par un autre cercle, j'abaisserai la verticale OZ dont je joindrai le pied avec le centre C , par le diamètre CZ qui déterminera les deux arêtes OA, OB, formant la section principale du cône; sur ces arêtes, je prendrai Oa = OA, Ofe = OB, et je tracerai la droite afe; alors, en menant un plan VXY perpendiculaire au plan principal OAB , et dont la trace VX soit parallèle à a6, je serai certain que sur ce tableau VXY la perspective de AEB sera un autre cercle A'B', puisque les deux conditions du n® 385 seront entièrement remplies.

Réciproquement, si Ton assignait le cercle original AEB avec la position VXY du tableau, il serait aussi facile de trouver la situation O que doit avoir le point dé vue, pour que la perspective de AEB fût encore un cercle. On commencerait alors par mener, du centre C, un plan vertical CZO perpendiculaire à la trace horizontale XY du tableau donné ; ensuite, on mènerait dans ce plan vertical une première droite A A' de direction arbitraire, puis une seconde droite BB' formant un angle ABB' = AA'X, et ces deux lignes A A', BB', étant prolongées jusqu'à leur rencontre O, détermineraient ainsi le point de vue demandé. Mais on voit qu*ici le problème est susceptible dune infinité de saiutions, puisque la première droite AA' a été menée sous une inclinaison arbitraire.

585. C'est sur le théorème du n° 585 qu'est fondé le genre particulier de perspective employé dans les Mappemondes , et qui est connu sous le nom de projection stéréographique ; on se propose alors de trouver un tableau et un point de vue tels que tous les cercles d'une même sphère aient pour perspectives d'autres cercles , ce qui offre nn tracé plus commode ; or on atteint ce but en plaçant l'œil du spectateur en un point quelconque O de la surface sphérique , et en adoptant pour tableau un plan XY perpendiculaire au rayon lO qui aboutit à ce point de vue.

En effet, soit AB un cercle quelconque de la sphère, lequel se projettera Pl. i8, sur la corde AB , si nous choisissons le plan de notre figure de manière qu'il Fig. 6. contienne le rayon OI et le rayon IC qui passe par le centre C du cercle donné ; car on sait que ce dernier rayon est perpendiculaire sur le plan du cercle. D'ailleurs, on doit apercevoir que le plan de la figure ainsi choisi sera précisément le plan principal (n® 585) du cône OAB formé par les rayons visuels. Or le tableau XY est bien perpendiculaire à ce plan principal, puisqu'il l'est au rayon OI situé dans ce dernier ; en outre , ce tableau coupe le triangle OAB suivant un autre triangle OA'B' semblable au premier, puisque les angles OAB et OB' A' ont tous deux pour mesure la moitié de l'arc OYB. Donc le

l4î> UVRB; II. ^ PERSPECTIVE UNÉAIHE.

projette sur A E, et aiuçi on pourra achever le parallélogramme ABCE, lequel représentera la projection du carré qui forme la base supérieure du cube. Maintenant) une des arêtes perpendiculaires à cette base, par exenlple celle qui part du sommet ( E , E" ) , sera projetée sur les directions EF, E^F", respec-tivjçment p^rp^endiculaires aux traces AR'', R"S"; puis,» si Ion prend E^ F"=A6, le point F" déterminera le sommet Fi^ ce qui permettrait d achever le parattélogramme AEF , et par suite la projection des autres faces du cube $ mais nous n avons pas besoin 4'en tracer davantage pour obtenir la perspective de ce

corps. .

365. Toutefois, nous chercherons encore quelle est Imtersection RS' du tableau vertical XY, considéré comme un plan de projection, avec le plan S"R'' A qui çpn tient la base supérieure du cube. Or, d après le n^ SSt de la Géométrie descriptive, on sait quil faut prolonger la trace S^R"" sur le profil jusqu'à sa rencontre V" avec la perpendiculaire VV élevée sur la ligne de terre VU; puis, en ramenant la droite rabattue VV" dans la direction verticale VV, et joignant les points V et R , on obtiendra la trace verticale RS' du plan en question qui avait déjà RQ pour trace horizootale.

^4. Cela posé, rabattons sur la géométral le tableau vertical XY^ après lavoir transporté parallèlement à lui-même en X'Y'; soit alors P le point principal , et P le point de distance , ce qui suppose qu ici le point de vue est. audessous du géométral , disposition que nous avons adoptée pour rendre plus distincts les .résultats de la perspective. En portant aussi sur la verticale PZ du tableau, l'intervalle ZO =PD, nous obtiendrons en O la projection horizon* taie du point de vue qui est déjà projeté verticalement en P sur le tableau.

56a. Afaintènant ^ cherchons la ligne de Juite (n"" 282) de la face ABGE, c est-à-4ire FiAterseqtion du tableau XY avec uu plan tt parallèle à cette face, et mené par le point de vue (O, P). Cette intersection sera évidemment parallèle à la tr^çe RS'; et pour en trouver un point, je coupe ce planer et le plan d'horizf>n par un plan vertical OK perpendiculaire à ARQ, ce qui produira un angle nécessairement égal à tù , dont le sommet sera au point de vue (O, P) , et dont les deux cOtés iront percer le tableau XY sur la verticale T. Or, si je rabats cet; aipgle sur le tableau autour de cette verticale, le sommet (O, P) se transportera pp 0"; et si je tire la droite ÇfV inclinée de la quantité w, elle ira couper la verticale T'T" en un poiat T'' qui restera immobile quand on rame-* nera l'angle en question dans le plan vertical OT; donc le point T"' appartient à Fintersection du tableau avec le plan n, et par conséquent cette intersection sera la droite TV ipenée parallèlement à la trace V'RS'. Voilà donc la Ugne