CHAPITRE IV

DES LIGNES COURBES

372. Pour appliquer la méthode des points de fuite à la perspective d'une p^. | g courbe quelconque LMNQ, il faut imaginer, par un point L de cette ligne , deux pjQ 3^ droites quelconques, par exemple deux horizontales choisies dans la direction

la plus commode; et en déterminant les perspectives de ces droites auxiliaires par un des procédés indiqués au chapitre précédent, il est clair que le point commun à ces deux perspectives sera la perspective U du point L considéré sur la courbe originale ; puis, si Ton répète cette construction pour d'autres points M, N, Q, . . . assez rapprochés les uns des autres, on obtiendra sur le tableau des points isolés M', N', Q\ • .. qui, étant réunis par un trait continu, fourniront la perspective I/M'N'Q' de la courbe proposée.

11 sera avantageux de choisir pour droites auxiliaires quelques-unes des tangentes à LMNQ, comme MT, parce que la perspective M'T' d'une pareille droite fournira non-seulement le point M^ mais encore la tangente de la courbe cherchée L'M'N'Q', ce qui servira à la tracer avec plus d'exactitude. Cette assertion va être justifiée par le théorème suivant :

373. La perspective M'V de la tangente MT à une courbe quelconque LMNQ, se trouve tangente à la perspective L'M'N'Q' de la courbe originale. En effet, la perspective L'M'N'Q' étant Imtersection du tableau VXY avec le côneOLMNQ formé par les rayons visuels qui aboutissent à la courbe originale, cette ligne

l46 LIVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE.

I/M'N'Q' aura pour tangente (G.D.^n'^SIS) rintersectioaduplanVXYavecle plan tangent à ce cône le long de Tarête OM'M : or, comme ce plan tangent est évidemment le plan OMT des rayons visuels qui aboutissent à la tangente MT , son intersection avec le tableau ne sera autre chose que la perspective M'T' de MT j donc cette perspective M'T' devra être tangente à la courbe IJiA'Q'.

Perspective d'un cercle horizontal.

Pl. i8, 574. Adoptons, pour premier exemple, un cercle horizontal, dont nous Fi G. I. prendrons le plan pour le géométral de notre épure, et soit XY la base du tableau vertical, ou son intersection avec le géométral. Transportons ce tableau parallèlement en X' Y', et, après lavoir rabattu autour de cette dernière droite sur le géométral , marquons-y le point principal P et les deux points de distance D et D'; ensuite, circonscrivons et inscrivons au cercle proposé deux carrés ABEF, GHIK, dont les côtés soient parallèles et perpendiculaires au tableau. Cela posé, les perspectives des cinq droites AF, GK, MQ, HI, BE, s'obtiendront enjoignant leur point de fuite P avec leurs traces sur X' Y' (n** 267, note); ce qui donnera les lignes Pa, Pgi, PZ', PA, P6, dont la rencontre avec T'D', qui représente évidemment la diagonale TE , fournira les cinq points A', G', C, F, E', parmi lesquels deux représentent déjà sur le tableau les points G et I du cercle proposé. Ensuite, sans recourir à lautre diagonale R'D, il suffira de tirer par les cinq points obtenus des parallèles à X^ Y', lesquelles fourniront les nouveaux points M', H', V et N', K', Q', ce qui fait en tout huit points de la perspective demandée et quatre tangentes ; car, d après le théorème du n® 375 , la courbe sur le tableau doit toucher les droites A'B', B'E', E'F' et F' A' ; de sorte que ces données suffiront ordinairement pour tracer la courbe avec toute lexactitude désirable. Néanmoins, si Ion voulait trouver d autres points , on sent bien que la même marche s y appliquerait en traçant, par le point choisi sur le cercle proposé, deux droites dont une serait perpendiculaire au tableau, et lautre inclinée à 45*^-

575. La perspective G'M'H'N'... est une ellipse^ puisque c'est la section faite par le plan du tableau dans le cône des rayons visuels qui a pour base le cercle GMHN; et il en sera toujours de même pour un cercle placé dans une position quelconque, excepté quand ce cercle sera coupé par le tableau , parce qu'alors ce dernier plan pourrait bien ne pas rencontrer toutes les génératrices d'une même nappe, et fournirait ainsi une parabole ou une hyperbole pour la perspective du cercle proposé. Mais cette position ne se rencontre jamais dans