CHAPITRE IV. — DES LIGNES COURBES

les dessins ordinaires, puisque iobjet original est supposé tout entier derrière le tableau.

376. Le point C, perspective du centre G, nest pas le centre de l'ellipse G'M'H'N'..-., puisque la corde L'G'N' répond à deux tangentes PL' et PN' qui ne sont point parallèles; mais la droite M'Q' est un axe de cette courbe, parce que les tangentes à ses extrémités sont parallèles, et de plus perpendiculaires sur M'Q'; de sorte que le centre de lellipse sera au milieu w' de ce diamètre.

Le second axe a'tù'S' est donc connu de direction; et pour avoir sa grandeur, il suffira de mener les deux tangentes Oa, OS, par la projection O du point de vue sur le géométral, puis d élever en y et <^ deux verticales y'a' et ^'6' qui détermineront les sommets a' et & : on sent bien d ailleui*s que la projection O s obtient en prenant ZO = PD. Cette construction est fondée sur ce que les tangentes Oa et OS représentent deux plans verticaux qui sont tangents au côue des rayons visuels; doù il suit que ces plans couperont le tableau suivant deux verticales •/o', ^'ê', qui devront être tangentes à lellipse ; et ces tangentes étant ainsi parallèles à Taxe M'Q', devront passer par les extrémités du second axe. D'ailleurs, on pourrait fixer les sommets af et S' par la combinaison de ces verticales avec une autre droite menée par le point a ou S.

377* Les constructions du n^ 374 s'appliquent d'une manière identique au cas où le cercle horizontal est vu obliquement, comme le représente la^^. a; toutefois la droite M'Q' n'est plus alors un axe de lellipse , mais seulement un diamètre dont le milieu donnera encore le centre de cette courbe.

378. A cette occasion, nous ferons observer qu'on peut aisément trouver la Pl. i8, perspective d'un cercle, sans tracer aucunement le géométral de cette courbe. Fig. 2. Il suffit de se donner, sur X'Y', la position de la droite ab égale au diamètre de ce cercle; d'en marquer le milieu Z\ ainsi que le septième ag ou bh^ puis enfin de prendre aT égal à la distance MZ que l'on vondra mettre entre le cercle et le tableau. Ces données fourniront les cinq droites Pa, P^, PZ', P/i, P6, et la diagonale T'D% lesquelles suffisent, comme on l'a vu, pour tracer lellipse perspective du cercle, au moyen des carrés inscrit et circonscrit.

Ces règles pratiques sont fondées sur ce qu'on a évidemment

T'a = Ta = Aa = MZ;

ensuite ,

ojr = Le = CL — es.

Or, cette dernière droite' étant le cosinus d'un angle de 45® dans un cercle dont

l48 LIVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE.

j'appelle R le rayon , on sait que

Cê = Rv/ï=Rv/f = fR,

da moins avec une approximation suffisante pour le genre d'opérations qui nous occupent; d'où il résulte

aj/ = R-|R=fR = la6.

FlG. a. 379. La méthode précédente n'est qu'approchée; mais en voici une autre tout à fait rigoureuse, et qui sera commode surtout pour les cintres des voûtes. Concevons sur le géo métrai la diagonale AN du demi-carré et la perpendiculaire SV ; on aura évidemment

ASxAN = R% ÂN = AB + BN=5R%

et par suite ,

• ASxAN = iÂN', ou AS = |AN, d'où AV==iAR.

Par conséquent, lorsqu'on aura tracé sur le tableau le carré perspectif A'B'^E'F', il suffira de tirer A'N', de prendre av = ^ab^ puis de tracer la droite vS'P qui fournira le point S' de l'ellipse, situé sur la diagonale A'N'. Cette même droite î;S'P, combinée avec N'F', donnerait un second point correspondant à R sur le géométral ; et Ton trouverait semblablement les perspectives des deux points W et U en prenant bw = ^ab^ puis en tirant les droites Pw , L'B' et L'E'. Par là on aura donc quatre points du cercle perspectif, lesquels joints aux quatre points L', M', N', Q', déterminés comme au n®374, formeront huit points et quatre tangentes, ce qui est bien suffisant pour tracer l'ellipse sans recourir au plan géométral.

l'iG. 2. 580. Diviser le cercle perspectif L'G'M'H'N' en parties perspectivement égales. Sans recourir au géométral, il suffira de décrire un demi-cercle sur L'N' comme diamètre ; on le divisera en parties absolument égales , et l'on abaissera les ordonnées correspondantes; puis, enjoignant les pieds de ces ordonnées avec P, ces lignes convergentes iront marquer, sur l'ellipse donnée , des divisions perspectivement égales. En effet, ces lignes partageront ab et L'N' en parties proportionnelles; donc elles senties perspectives des ordonnées qui, sur le diamètre LN, correspondraient à des arcs égaux sur le géométral LGMHN.

Ce problème peut servir à fixer les cannelures d'une colonne isolée, ou à distribuer régulièrement les colonnes qui soutiendraient une coupole sphérique.