CHAPITRE IV. — DES UGNES COURBES. l5l

comme horizontal, et un point de vue O dans l'espace, si je veux trouver un tableau tel que ce cercle y soit représenté par un autre cercle, j'abaisserai la verticale OZ dont je joindrai le pied avec le centre C , par le diamètre CZ qui déterminera les deux arêtes OA, OB, formant la section principale du cône; sur ces arêtes, je prendrai Oa = OA, 06 = OB, et je tracerai la droite ab; alors, en menant un plan VXY perpendiculaire au plan principal OAB , et dont la trace VX soit parallèle à a6, je serai certain que sur ce tableau VXY la perspective de AEB sera un autre cercle A'B', puisque les deux conditions du n** 385 seront entièrement remplies.

Réciproquement, si Ton assignait le cercle original AEB avec la position VXY du tableau, il serait aussi facile de trouver la situation O que doit avoir le point de vue, pour que la perspective de AEB fût encore un cercle. On commencerait alors par mener, du centre C, un plan vertical CZO perpendiculaire à la trace horizontale XY du tableau donné ; ensuite, on mènerait dans ce plan vertical une première droite A A' de direction arbitraire, puis une seconde droite BB' formant un angle ABB' = AA'X, et ces deux lignes A A', BB', étant prolongées jusqu'à leur rencontre O, détermineraient ainsi le point de vue demandé. Mais on voit quUci le problème est susceptible dune infinité de salutions, puisque la première droite AA' a été menée sous une inclinaison arbitraire.

585. C'est sur le théorème du n"* 585 qu'est fondé le genre particulier de perspective employé dans les Mappemondes , et qui est connu sous le nom de projection stéréographique ; on se propose alors de trouver un tableau et un point de vue tels que tous les cercles d'une même sphère aient pour perspectives d'autres cercles , ce qui offre un tracé plus commode ; or on atteint ce but en plaçant l'œil du spectateur en un point quelconque O de la surface spbérique, et en adoptant pour tableau un plan X Y perpendiculaire au rayon lO qui aboutit k ce point de vue.

En effet, soit AB un cercle quelconque de la sphère, lequel se projettera Pl. i8, sur la corde AB , si nous choisissons le plan de notre figure de manière qu'il Fig. 6. contienne le rayon OI et le rayon IC qui passe par le centre G du cercle donné ; car on sait que ce dernier rayon est perpendiculaire sur le plan du cercle. D'ailleurs, on doit apercevoir que le plan de la figure ainsi choisi sera précisément le plan principal (n® 585) du cône OAB formé par les rayons visuels. Or le tableau XY est bien perpendiculaire à ce plan principal, puisqu'il l'est au rayon OI situé dans ce dernier ; en outre , ce tableau coupe le triangle OAB suivant un autre triangle OA' B' semblable au premier, puisque les angles OAB et OB' A' ont tous deux pour mesure la moitié de l'arc OYB. Donc le

l5a LIVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE.

tableau XY remplit les deux conditions de la section antiparallèle (n° 385), et conséquemment il coupera le cône OAB suivant un cercle A' B' qui sera la perspective du cercle proposé AB.

Ce tableau XY jouira de la même propriété pour tout autre cerle MN, attendu qu'il se trouvera encore perpendiculaire à la section principale du cône OMN, laquelle sera dans le plan OIC; et qu'en outre le triangle OM'N' sera aussi semblable à OMN. Donc, sur le tableau XY, tous les cercles de la sphère seront représentés par d'autres cercles; et il est bien facile de trouver trois points et d'assigner le rayon de chacun d'eux , quand il s'agit des cercles qu'on appelle en Géographie les méridiens et les parallèles. FiG.8 386. Considérons, en effet, l'hémisphère inférieur situé au-dessous du et 9. plan horizontal XY, lequel passe par la ligne des pôles (Pp, P') et nous servira de tableau, en plaçant le point de vue en (O, O'). Si l'on veut trouver la perspective du méridien qui fait un angle de 3o** avec l'horizon, et qui serait projeté verticalement sur P'M', on observera d'abord que cette perspective passera nécessairement par les points P etp; ensuite, si nous tirons le rayon visuel (O'M', OM) qui aboutit au sommet inférieur de ce méridien, il percera le tableau en m' que l'on projettera en m, et ce sera là un troisième point de la pei'spective demandée Pmy;, laquelle sera dès lors bien facile à tracer, puisqu'on sait qu'elle doit être circulaire. Mais nous n'avons voulu employer ici la projection verticale que pour bien faire comprendre la question, car elle peut se résoudre au moyen d'un simple rabattement sur làjig. 9 toute seule. En effet, après avoir imaginé le rayon visuel qui aboutit au sommet inférieur du méridien en question, rabattons le plan vertical de ce rayon autour du diamètre horizontal EOe de Téquateur; alors le point de vue se transportera évidemment eu P : le sommet du méridien considéré se rabattra sur le cercle horizontal Epe, et à une distance eh de 3o**; donc PL sera le rabattement du rayon visuel. Or, comme il rencontre la charnière Ee ait point m, qui restera immobile quand on relèvera le plan , il s'ensuit que ce point m est Fintersection du tableau avec le rayon visuel ; donc m appartient à la perspective cherchée , laquelle est ainsi déterminée par les trois points l\ m., p.

De même, pour le méridien qui fera un angle de So^avec l'horizon, il suffira de tirer la droits P-5o , qui déterminera le point n de la perspective Pnp.

Considérons maintenant un parallèle situé à 3o® de l'équateur EOe, et qui dès lors passerait par les points G et L qui appartiendront aussi à sa perspective. Si nous imaginons le rayon visuel qui aboutirait au sommet inférieur H de ce petit cercle , et que nous rabattions le plan vertical Op de ce rayon autour

CHAPITItk IV. — DES LIGNES COURBES. l53

de Taxe des pôles Pop , on doit voir que le point de vue se transportera en E, et que le sommet H ^e rabattra en L : donc EL sera le rabattement du rayon visuel. Or, comme ce rabattement rencontre la charnière Pp en /i, et que ce point restera immobile quand on relèvera le rayon visuel, il s ensuit que h est l'intersection de ce rayon visuel avec le tableau; donc il appartient à la perspective demandée , laquelle est un arc de cercle suffisamment déterminé par les trois points G, A, L.

Par ces procédés, on obtient aisément la perspective des portions de parallèles et de méridiens situées sur Thémisphère inférieur; quant aux moitiés supérieures de ces cercles, qui seraient représentées par les prolongements des arcs Pmp, CAL, comme elles dépasseraient le contour EPep, on trouve plus avantageux d'en tracer la perspective à part, en conservant le même tableau XY, mais en plaçant le point de vue à lextrémité opposée (O, Q') du diamètre perpendiculaire à ce tableau* De sorte que sur une mappemonde, c'est la concavité de chaque hémisphère qui est présentée aux regards de l'observateur.

387. La projection stéréographiqne jouit encore de cette propriété, que les FiG. 7* cercles s y coupent sous le même angle que sur la sphère; ainsi les méridiens et les parallèles qui se coupent à angles droits sur la sphère, formeront aussi des angles droits sur le tableau de perspective. En effet, soient MT et MS deux tangentes à la sphère; leurs perspectives sur le tableau YXY perpendiculaire au rayon OI, seront les intersections M'T' et M'S' de ce tableau avec les plans OMT et OMS; or ces derniers plans coupent la sphère suivant deux petits cercles MaO et MêO qui ont pour tangentes MT et MS; ils coupent aussi le plan tangent en O suivant deux droites OT et OS qui sont encore tangentes à ces petits cercles, et évidemment parallèles à M'T' et M'S', d'où il suit que l'angle TOS égale T'M'S'. Mais si on tire TS, les deux triangles MTS et OTS seront égaux , attendu que TM = TO et SM = SO, puisque ce sont des tangentes à un même cercle et issues d^un même point deux à deux ; donc l'angle TMS est égal à l'angle TOS, et par suite égal à T'M'S'; ce qu'il fallait démontrer.

Perspective de Portes voûtées.

588. Cette porte est vue de face, ainsi que le montre le géométral, qui est Pl. 19, tracé ici sur une échelle réduite, et seulemei^t pour indiquer la situation des FiG. i. données et la direction des, lignes auxiliaires que nous emploierons ; afb' et ^h[ sont les largeurs véritables des pieds-droits, lesquels sont à une distance du tableau marquée par fr'K', et ont une profondeur égale à X' Y'. Alors en tirant les

ao

l54 LIVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE.

lignes Pa', P6' Pg\ Vh\ et les droites à 45*^ DX', DY', ou déterminera aisément les rectangles perspectifs A'B'E', G'HT, qui représentent les bases de ces pieds-droits; car on sait (n^ 505) que 6'B' et 6'E' sont perspectivement égales à b'X' et b'Y\ Ensuite, si fe'6" est la hauteur absolue du pied- droit, la ligne b^P déterminera les hauteurs dégradées des arêtes verticales B'B'' et EŒ'^; et les deux autres arêtes G^C, K!K!\ seront égales à celles-là, comme étant deux à deux dans le même plan de front; de sorte que B''G"K1E" représentera le rectangle qui est à la naissance de la voûte.

589. Quant aux deux cintres opposés de la porte, puisqu'ils sont dans des plans parallèles au tableau, ils resteront circulaires en perspective (n®585), et on les obtiendra en décrivant deux demi-cercles sur les diamètres B^'G'^ et E''K".

* On trouvera serablablement les joints verticaux de la voûte, en divisant d abord X'T' en trois parties égales par des droites issues du point D, lesquelles marqueront sur B'E^ les pieds des verticales qui fourniront sur B^'E^ les origines de ces demi-cercles; mais il faudra les interrompre de deux en deux assises. Observons aussi que tous ces cercles devront être touchés par la tangente P6 , car celte droite est évidemment Tintersei-tion du tableau avec le plan tangent mené par Tœil au cylindre qui forme llntrados de la voûte; or ce plan contenait les tangentes de ces circonférences; et comme il passe par Tœil du spectateur, toutes les perspectives de ces droites se réduisent à sa trace Pd, laquelle devra donc (n** 575) être tangente aux perspectives des cercles situés sur ce cylindre.

590. La hauteur absolue (ïa^' de la face antérieure étant donnée , on en déduira aisément la hauteur apparente A' A" et les contours perspectifs A'^H" et H'T. Quant à la corniche que nous supposons réduite à un simple bandeau saillant, ayant la fornie d un parallélipipède rectangle projeté sur le géométral suivant aSyc^, il faudra prendre A"X' égale à la saillie du bandeau, puis tirtîr la droite X'P qui, combinée avec la diagonale DH", déterminera 1 angle inférieur ê' du bandeau. On pourra donc tracer les arêtes a'ê', &y' ; et la longueur de cette dernière s obtiendra en prenant e'y ' égale à la profondeur Sy du bandeau , puis en traçant ç'D qui représente la ligne cpy inclinée à 45^.

Enfin, si Ion prend e'e" égale à la hauteur absolue du bandeau, la droite fi"D fournira la grandeur apparente de Farête verticale &&\ et Ion achèvera aisément le rectangle supérieur a"ê"y".

Pl. 19, 391, Supposons maintenant que le cintre de la porte soit dans un plan per- FiG. 2. pendiculaire au tableau. Avec les distances absolues A"fr et fee, qui indiquent Tépaisseui: des pieds-droits et le diamètre de la porte, on trouvera, comme ci-dessus, les bases eties arêtes verticales des piedb^droits; ainsi que le diamètre

GHAPITEE IV« >- DES LIGNES COUBBES. t55

B'E' sitaé à la naiasance de la voûte. Quant au cintre apparent, on se contente souvent d employer ie demUcarré circonscrit BEGH, et les diagonales B6 et EH. On a vu, au n^ 379, que la partie extérieure HM = |HE, d*oà il résulte aussi que HK = -g-HB ; d ailleurs la diagonale BG fait , avec Tborizon , un angle

dont la tangente est irg = -j. D'après ces remarques, si Ton prend Vd = y PD , i

on doit sentir que d sera le point de fuite de la diagonale BG , puisque le rayon visuel qui est rabattu suivant De/, étant relevé dans le plan principal, se trouverait bien parallèle à cette diagonale; donc la perspective de cette dernière ligne est B'c/qui, combinée avec les verticales E'G' et B'H', permettra d achever le demi-carré perspectif E'G'H'B'; alors la seconde diagonale E'H' coupera la' première en un point qui, au moyen dune verticale, fournira le point L% perspective du sommet L du demi-cercle. Enfin , si Ion prend H'K' = jH'B', la corde K'P donnera, par sa rencontre avec les diagonales, les deux autres points M' et N' de la courbe cherchée. Comme on connaît d'ailleurs les deux points de naissance du cintre, cela fera 5 points et 3 tangentes, ce qui suffit ordinairement pour tracer la demi-ellipse B'M'L'N'E'; néanmoins ce procédé ne pouvant fournir que certains points très-particuliers, nous allons donner une méthode tout à fait générale.

392. Deuxième méthode. Après avoir déterminé, comme ci-dessus, les bases Pl. iq, des pieds-droits et le diamètre B' E' situé à la naissance de la voûte , on imagi- Fie 3. nera que le demi-cercle a tourné autour de la verticale A^ A', pour venir se rabattre sur le tableau suivant la circonférence BLE, laquelle se détermine en prenant. A' B = k"b et BE = be (*). Dans ce mouvement, les points rabattus

en M et N sur Une horizontale tracée à volonté , ont dû décrire des arcs de cercle dont les cordes formaient un angle de 45^ avec le tableau; donc ces cordes ont pour perspectives les lignes MD' et ND'. D'ailleurs l'horizontale rabattue suivant MN, et qui se trouvait d*abord dans le plan fuyant A'' P, venait percer le tableau en T; donc elle a pour perspective TP qui, par sa rencontre avec MD' et ND', fournira les perspectives M' et N' de deux points du cintre.

393. Cette méthode peut s'appliquer à toutes les horizontales telles que TMN ; et si on Temploie pour le sommet L, on obtiendra le point U où la àexsà-

{*) D^ips la pratique il vaudra mieux rabattre le demi-cercle BLE à gauche, parce qu'on ' n*aura besoin alors que d'employer le seul point de distance D , et que les sécantes seront moins obfiques; mais ici, pour faire étudier Tépuîe sans cwifusion, nous avons préféré le rabattement à droite.

i56 LrvRE ri. *- perspective linéaire.

ellipse dok être tangente à KP, attendu que cette dernière ligne est la perspective de la tangente rabattue suivant RL. Or, puisque KP est inclinée à Tborizon , il s'ensuit que IV n est pas le point culminant de la perspective, c'est-à-dire celui où la tangente se trouve horizontale.

394. Pour obtenir ce point culminant, il faut cbercher, parmi tous les plans tangents au cône des rayons visuels qui aboutissent sur le cercle original, celui qui sera parallèle à la ligne de terre XY; car un pareil plan ne pourra couper le tableau que suivant une droite parallèle à XY, laquelle sera ainsi horizontale, et devra d'ailleurs toucher la perspective B'L'E^, attendu quelle sera la perspective (n® 513) d'une certaine tangente au cercle origrnal.

Cela posé, en opérant sur le plan d'horizon dont la ligne de terre est PD, et dans lequel le sommet du cône des rayons visuels est placé en O,- la trace du plan tangent demandé sera nécessairement la droite OS; la trace du plan fuyant A"Pqui contient le cercle original, est évidemment GS perpendiculaire à PD; donc il reste à mener, du point S où se rencontrent cies deux traces, une tangente au cercle original. Pour effectuer cette construction, je rabats ce cercle et le point S sur le tableau , autour de lia verticale GK ; lé cercle devient BLE, comme au n^392, et le point S se transporte évidemment en S'; alors S'd est le rabattement de la tangente cbercbée, laquelle percera le tableau en V, quand elle sera ramenée dans lé plan fuyant primitif PA^'V; et conséquemment l'horizontale Vw sera Tîntersection du tableau avec le plan tangent conduit suivant S'd. Or, comme ce plan passe par le point de vue O, sa trace Vw est précisément la perspective de la tangente rabattue suivant S'9; par conséquent cette horizontale Ytô devra toucher (n® 313) Tellipse B'L'E', et fournira ainsi la limite cherchée.

395. Ce résultat suffit ordinairement pour bien tracer la courbe B'I/E'; mais si l'on veut déterminer précisément lé point de contact o, il ny a qu'à observer que là droite rabattue suivant 9f était une perpendiculaire au tableau, laquelle a pour perspective çP; donc cette dernière ligne coupera Vw au point (^ qui sera la perspective cherchée du point de contact 6. On pourrait aussi employer la droite OU-y car elle représente la perspective de la corde de Tare décrit par le point du cerclé original, qui est venu se rabattre en 6.

Pl. 19, 396. Troisième méthode. On pouvait tracer les ordonnées MQ, LC, NR,..#

FiG. 3. qui divisent le diamètre BE en parties égales ou quelconques, BQ,.QG, CR,.,.^

reporter ces distances suivant 69, 9c, cr^... et tirer D9, De, Dr,<.. qui auraient

fourni les points Q', G', R',..., lesquels sont évidemment les perspectives des