CHAPITRE V. — MÉTHODE GÉNÉRALE DE PERSPECTIVE. i8l

lesquelles le point de contact M précède toujours les points de section a et ê, et demeure conséquemment visible Ç^); mais à mesure que M approche de B, a se rapproche aussi de M, et il y aura une position indiquée par la droite 4 où a et M étant confondus, le rayon visuel aura un contact du second ordre avec la section, en la touchant dans son point d'inflexion. Or, je dis que cette circonstance arrive quand M est en B sur la^z^. i; car nous avons démontré au n^ 450 que dans ce point singulier, le rayon visuel avait un contact du second ordre avec la surface annulaire , et par suite avec la section.

Il résulte de là que, sur le piédouche. Tare (AB, A'B') serait entièrement visible, si lexistence du cylindre supérieur n arrêtait pas les rayons visuels qui aboutissent sur cet arc.

459. Quand le point de contact sera parvenu entre B et E sur lafig.i, les rayons visuels prendront les positions 5,6,7, dans lesquelles le point de contact M se trouve entre a et ê, circonstance qui rendrait invisible l arc (BDE, B'I>'E'), si Ion n'avait pas enlevé, dans le cas du piédouche, la nappe extérieure décrite par la seconde moitié de Fellipse G^H^K', nappe sur laquelle se trouve le point de section a qui cacherait M sur les droites 5^ 6, 7. Mais à mesure que le point de contact s'approche de E, le point de section S se rapproche aussi de M, et il y aura une position 8 où S et M étant confondus, le rayon visuel aura un contact du second ordre avec la section , en la touchant dans son point d'inflexion. Or, je dis que cette circonstance arrivera précisément au point (E, E') sur la PL XXI F; car nous avons démontré au n^ 450 que, dans ce point singulier, le rayon visuel avait effectivement un contact du second ordre avec la surface de révolution, et par suite avec la section verticale correspondante. D'où il suit que, sur le piédouche, lare (BDE ,.B'DŒ') demeure visible.

460. Mais , quand le rayon visuel aura dépassé le point E , il prendra jusqu en F les positions successives indiquées par les droites 9, 10, 11, dans lesquelles le point de contact M se trouvera au delà des deux points de section S et a; et quoique ce dernier a n existe plus dans le piédouche , à cause que la n^ppe extérieure est enlevée, lautre point de section € qui est sur la nappe intérieufe, suffira pour rendre invisible le point de contact M, tant qu'il glissera de E en F,

(*) Mous avons altéré beaucoup la direction des rayons visuels dans les Jig. 4» ^9 ^y ^^^ d'éviter la peine de construire des sections de formes analogues, mais cependant inégales y pour des rayons visuels même très-voisins; et cela nous a permis aussi de manifester plus clairement la distinction entre les points de contact et les points d'intersection^

i8qi livre II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE.

et aussi de F en e. Telle est donc la cause qui rend invisible, sur le tableau de perspective, lare E"FV du contour apparent géométrique. Il est vrai que, sou$ le rapport physique, la vue ne s arrête pas ainsi brusquement au point (E, E'); mais c'est que les rayons visuels qui ont touché la scotie le loug de Tare (BDE, B'D'E'), vont tomber sur la partie inférieure de la surface, et y tracent une courbe d'intersection qui vient se raccorder avec la ligne de contact BDE , ainsi que nous le verrons dans le paragraphe suivant (n"" 467) où nous étudierons une surface annulaire complète.

Perspective d'un Tore.

461. La question précédente nous a offert Texemple remarquable dune surface à courbures opposées, sur laquelle le véritable contour apparent, sous le rapport physique , n'était composé que de certaines portions de la ligne de contact du cône circonscrit à la surface et ayant pour sommet le point de vue; mais pour mieux étudier cette circonstance intéressante, principalement sous le rapport de la géométrie, il convient d employer une surface annulaire qui soit complètement fermée , et d y construire à la fois les lignes de contact et les lignes d'intersection qui sont communes à cette surface et au cône circonscrit. Considérons donc la surface représentée sur les PL XXV et XXIII, et qui est décrite par la révolution d un cercle autour d une droite située dans son plan , mais placée hors de la circonférence; les extrémités du diamètre vertical de ce méridien circulaire décrivent deux circonférences horizontales qui partagent la surface en deux nappes, lune extérieure qui est totalement convexe, l'autre intérieure qui est à courbures opposées; et les moulures que Ton rencontre fréquemment dans rarchitectilre^ sous les noms de torCy quart de rond, cavet, congé, scotie, ne sont autre chose que des portions de la surface annulaire qui va nous occuper.

Pl. 25. 462. Le point de vue étant (O, O'), on obtiendra le contour apparent sur la nappe extérieure, par la méthode indiquée au n^ 441, et que nous rappellerons très-succinctement. Après avoir choisi un parallèle quelconque P'Q', et mené la tangente Q'T' de la méridienne qui va couper en (T', T) le plan horizontal O'Z', on décrit le cercle du rayon GT qui rencontre la demi-circonférence CIO au point I; et le rayon CI coupe la projection horizontale du parallèle P'Q' en un point p que Von projette en p'; ce point {p^p') et celui qui est placé symétriquement en (p", p') appartiennent à la courbe demandée.

On obtient immédiatement deux autres points ((;, t/) et {v'\ i/) de la même