CHAPITRE I. — NOTIONS GÉNÉRALES

faisons abstraction des reflets de l'atmosphère et des autres corps environnants, sans quoi lobscurité de la portion de surface ADB serait un peu atténuée; mais nous reviendrons plus tard (ù9 256) sur ces circonstances accessoires.

4. Maintenant, si nous faisons pénétrer dans l'ombre projetée par le corps T un plan VXY, ou toute autre surface, il en résultera une courbe d'intersection ambna qui enveloppera tous les points de VXT où- n'arrive pas la lumière directe partie de S; tandis que tous les points extérieurs à cette courbe se trouveront éclairés. Ainsi la portion embrassée par la ligne ambn sera Yombre portée par le corps T sur la surface VXY.

5. Quant à la construction graphique des courbes précédentes, on sait {G. D., n9 547) que la méthode générale consiste à mener du point S divers plans sécants dont on détermine les courbes d^intersection avec la surface T ; puis on tire, par le même point S, des tangentes à chacune de ces courbes, et leurs points de contact déterminent la ligne de séparation d'ombre et de lumière AMBN. Ensuite, on cherche les intersections de ces mêmes tangentes avec la surface VXY, et Ton obtient ainsi la courbe d ombre portée ambn. Mais quand la surface T est cylindrique, ou de révolution, ou du second degré, il y a des méthodes plus simples, et que nous avons exposées au livre V de la Géométrie descriptive.

6. Supposons à présent qu'il existe deux points lumineux S et S' qui éclairent PL* i • simultanément le corps T. Pour chacun de ces points considéré isolément, on FiG- ^' déterminera , comme ci-dessus , les lignes de séparation d'ombre et de lumière AMBN et A'MB'N, puis les courbes d'ombre portée ambn et a'm'b'n'-, ces dernières doivent avoir une tangente commune en m et m', parce que c'est l'intersection du plan VXY avec le plan tangent de la surface T en M, lequel

plan touche à la fois les deux cônes circonscrits ( G. D., n*^ 593). Alors on connaîtrait les parties illuminées et les parties obscures du plan VXY, s'il était éclairé tour à tour par chacun des points S et S'; mais, attendu que la lumière vient simultanément de S et de S^ cela donne lieu à de nouvelles distinctions. En effet, tout point qui sera dans la partie alAb'Ga commune aux deux courbes, ne sera éclairé ni par le point S ni par S'; c'est donc là Xombre pure. Tout point qui se trouvera dans la partie Ga'HaG ne recevra pas de lumière de S', mais il en recevra de S ; au contraire , tout point situé dans la partie G6'HfrG sera éclairé par S^ et non par S : ces deux parties forment donc ce qu'on nomme la pénombre^ où l'obscurité n'est pas complète. Enfin, les parties du plan VXY qui sont en dehors des deux courbes à la fois recevront de la lumière aussi

bien du point S que du point S', sans que le corps T y mette aucun obstacle, et c'est là la portion illuminée du plan.

7. Les mêmes distinctions se représenteront sur la surface même du corps T; car on voit bien que tous les points situés entre D et les arcs M AN et MB'N ne peuvent être éclairés ni par S , ni par S', et c'est là l'ombre pure; la pénombre est composée des deux portions de surface MANA'M et MBNB'M, car chacune ne reçoit de lumière que d'un seul des deux points lumineux ; enfin la partie illuminée du corps T est comprise entre C et les deux arcs MA'N et MBN.

8. Des circonstances semblables à celles que nous venons de discuter se reproduiraient pour trois ou uu plus grand nombre de points lumineux; et lorsqu'ils forment par leur ensemble un corps de dimensions finies, on pourrait répéter pour chaque point de ce corps lumineux les constructions précédentes; puis, en cherchant Yenveloppe intérieure et Yenveloppe extérieure de toutes les courbes ambn^ a'm'b'n\,..^ la première déterminerait l'ombre pure, et la seconde la pénombre , qui ont lieu sur le plan VXT; mais an lieu de cette marche très-compliquée, il est préférable d'employer la méthode suivante.

Pl. I. 9. Soient S le corps lumineux et T le corps opaque, qui peuvent avoir des Fi6. 3. formes quelconques. Imaginons un plan n qui soit tangent aux deux surfaces S et Ta la fois; ce plan sera susceptible d'occuper une infinité de positions, à moins que l'une de ces surfaces ne soit développable; mais nous exclurons ici cette hypothèse particulière, attendu quelle ne se rencontre jamais dans les applications utiles de la théorie des ombres, et que d'ailleurs les restrictions auxquelles elle donnerait lieu sont faciles à prévoir, d'après ce que nous avons dit aux n®* 428 et 429 de la Géométrie descriptive.

10. Nous pouvons donc faire rouler le plan n sur les deux surfaces S et T, de manière à les toucher extérieurement, c'est-à-dire en laissant ces deux surfaces toujours d'un même côté du plan mobile, et la suite des points de contact formera deux certaines courbes AB et A'B' que nous avons appris à construire (G. D., n^ 425); d'ailleurs les positions successives de ce plan mobile se couperont consécutivement selon des droites qui seront les génératrices d'une surface développable 2, laquelle se trouvera circonscrite extérieurement aux deux corps S et T. Cela posé, la courbe de contact A'B' de la surface 2 avec T sera la limite de Yombre pure sur ce dernier corps, puisque évidemment tout point situé au delà de A'B' ne pourra recevoir la lumière directe partie de quelque point que ce soit de S, tandis qu'il serait éclairé en partie s'il était