CHAPITRE I. — NOTIONS GÉNÉRALES

situé en deçà de la ligne A'B'. De même, en cherchant les- points d'intersection du plan VXY avec les diverses génératrices de la surface développable 2 , on obtiendra la courbe k^W qui enferme \ ombre pure portée par le corps T sur ce plan.

11. Mais nous pouvons mener un autre plan n' qui soit tangent intérieurement aux deux surfaces S et T, c est-à-dire qui les touche en laissant d un côté Tune de ces surfaces, et Fautre du côté opposé; alors, en faisant rouler ce plan tangent n' sur S et T, il donnera lieu à une seconde surface développable 1' qui se trouvera circonscrite intérieurement aux deux corps proposés, et les tou* chera suivant deux nouvelles courbes CD et Gl}'. Or, la ligne C'D^ est la limite qui sépare la pénombre d'avec la partie illuminée du corps T; car tout point situé au delà de Gty ne sera éclairé que par une portion plus ou moins grande ' du disque lumineux, tandis que si ce point est en deçà de C/D\ il recevra la lumière directe du disque total, c est-à-dire de toute la portion de S que peut cii*conscrire un cône dont le sonunet serait au point considéré sur T; Enfin , Imtersection CD" du plan VXY avec cette surface développable 2', donnera aussi la limite de la pénombre sur ce plan.

12. Hâtons-nous d'éclaircir ces généralités, en prenant l'exemple très-simple p|^^ , de deux corps sphériques S et T. Ici tous les plans tangents communs à ces Yiq^ 3, deux sphères, et qui les toucheront extérieurement, iront évidemment rencontrer la ligne des centres STO en un même point O; donc les intersections consécutives de ces plans seront des droites qui passeront tontes parce point,

et conséquemment elles fourniront, pour la surface développable 2, un cône AOB circonscrit extérieurement aux deux sphères S,T, et qui les touchera suivant deux petits cercles projetés sur les droites AB, A'B'. De même , la seconde surface' développable 1' se réduira ici au cône CO'D, circonscrit intérieure-: ment aux deux sphères, et qui les touchera suivant deux cercles projetés sur les droites CD, GD\ Ensuite, ces deux surfaces coniques iront couper le plan VXY suivant deux courbes A"B" et C"D", lesquelles formeront les limites qui séparent l'ombre pure de la pénombre, et celle-ci de la portion illuminée sur le plan VXY; d'ailleurs la pénombre n'offrira pas une clarté partielle qui soit uniforme, mais cette clarté augmentera progressivement à mesure que l'on s'éloignera de l'ombre pure, ainsi que nous allons le prouver en étudiant les faits seulement dans une section méridienne des deux corps sphériques, parce que tout est semblable autour de la droite qui réunit les centres.

15. D'abord, tout point 1/ situé en dedans de la courbe A''W ne peut évidemment recevoir la lumière directe partie de quelque point que ce soit de S ,

puisque le point 1/ est renfermé dans le cône AOB qui epveloppe extérieurement les deux sphères; tandis que si Ton considère un point P"^ placé entre les courbes A"B" et CD'', et que l'on tire les tangentes PP'P, P"p, on voit que le point P" sera éclairé par Tare PBp du corps lumineux. Cependant ce point F' ne reçoit pas autant de lumière que si le corps T était enlevé; car alors il serait éclairé par l'arc lumineux pBPp', lequel se détermine en tirant les tangentes P'p, P"f>', et forme ce que nous avons appelé ci-dessus le disque total du corps lumineux vu du point F'. Il résulte de là que le corps opaque T intercepte encore une portion de la lumière qui arriverait directement au point F', et que celui-ci se trouve bien dans la pénombre qui est ainsi séparée de Y ombre pure par la courbe A"B".

D'ailleurs la clarté partielle de cette pénombre va augmenter graduellement de F' en Q"; car ce dernier point se trouvera éclairé par l'arc lumineux QB(jf, plus étendu que le précédent, mais néanmoins plus petit que le disque total relatif au point de vue Q". Enfin, tout point R" situé hors de la courbe C"D", se trouvera éclairé par le disque total du corps lumineux, sans que la présence du corps T lui dérobe aucun rayon de lumière , parce que les tangentes menées du point R" au corps S ne rencontrent plus la surface T. Donc la courbe C*D" est la limite qui sépare la pénombre de la partie illuminée totalement, sur le planVXY.

14. Tous les raisonnements que nous venons de développer, s'appliquent évidemment aussi à la surface même du corps opaque T; de sorte qu'un point L', situé à droite de la ligne de contact A'B', sera entièrement dans l'ombre; un point tel que P' sera éclairé par l'arc lumineux PBp, et le point Q' par l'arc plus étendu QBqf ; tandis que tout point R' situé à gauche de l'autre courbe de contact CD', sera éclairé par le disque total. Donc, sur le corps opaque T, la courbe de contact A'B' est bien aussi la limite qui sépare l'ombre pure A'E'B' d'avec la pénombre A'B'C'D', et cette dernière zone offre une clarté qui va en augmentant jusqu'à la seconde courbe de contact CD', où commence la portion D'F'C totalement illuminée.

15. D'après ces détails, on voit que la solution générale du problème des ombres, pour deux corps de forme quelconque, serait très-laborieuse, puis-^ qu'elle exigerait l'emploi des deux surfaces développables 1 et 2' dont nous avons parlé aux n^* 10 et 11. Mais, heureusement, les seuls résultats qui soient vraiment utiles dans la pratique se rapportent au cas de la lumière solaire; et comme la distance du Soleil à la Terre est extrêmement grande comparativement aux dimensions de tous les objets qui nous environnent, et même aussi