CHAPITRE IV. — DES LIGNES COURBES

581. Trouwr la perspective d'un hexagone régulier, dont un côté est parallèle Pl. ig au tableau. Yig. 10.

On peut aussi tracer cette perspective sans constiniire le géomëtral , en se donnant la grandeur ab du premier côté, et sa distance a^ au tableau; car si, après avoir tiré Pa et P6, je mène la droite (>D, on sait (n** 305) que cette dernière déterminera une profondeur A'a = a&y de sorte que A'B' sera la perspective du côté donné. Ensuite, comme la diagonale BH formerait avec B6 un angle de 3o^, si je rabats l'œil en C et que je tire O'F de manière à former un angle PO' F = 3o°, le point F sera le point de fuite de cette diagonale, laquelle aura ainsi pour perspective B'F. Cette dernière droite coupe A'P au point H' qui me permet d achever le rectangle perspectif A'B'G'H'; et la diagonale A'G' me fournit le centre G' par lequel je mène une horizontale indéfinie qui, combinée avec G' F et A'F, déterminera les deux derniers sommets E' et K'.

D'ailleurs, on peut remarquer que comme le point I est le milieu du rayon CE parallMe au tableau, on doit avoir Gr = rE' en grandeur absolue. En outre, les côtés K'H' et B'E' doivent concourir vers un point de fuite F' situé à une distance PF' = PF.

Si l'on n'avait pas de rapporteur pour former Tangle PO' F = 3o**, on pourrait construire un triangle éqnilatéral aSy, et mener O'F parallèle géométrale au côté êy.

582. Trouver la perspective d'un octogone régulier, dont un coté est parallèle au tableau.

Soit encore ab la grandeur de ce côté, et bd^ sa distance au tableau; en me- FiG. la. nant Pa, P6 et DJ, on déterminera, comme ci-dessus, la perspective A' B' du premier côté. Ensuite, pour avoir le côté xy du carré circonscrit, qui nous servira de moyen auxiliaire, je décris sur ab une demi-circonférence, et je prends les distances 6Y et aX égales à la corde bjr" qui soutend un quart de cercle, ce qui me donne la vraie longueur XY du côté de ce carré. Alors les droites PX et PY, combinées avec le prolongement de A'B', déterminent deux sommets x' et y' de ce carré perspectif, et on l'achève aisément au moyen de sa diagonale Hx' qui fournit le sommet z' et le côté zV. Cela posé, ce dernier côté détermine les sommets H' et K' de l'octogone, et les droites DK', DH', DA', DB' fournissent les quatre autres sommets L', M', G' et E'. D'ailleurs les points M', r, E', doivent être sur une parallèle à XY, aussi bien que L', S', et G', ce qui fournira des vérifications.

585. Nous avons dit (n** 575) que la perspective d'un cercle était toujours une ellipse ; mais cet énoncé n'exclut pas le cas où cette ellipse aurait ses deux

l5o LIVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE.

axe^ égaux , et deviendrait conséquemment un cercle. Or cela arrive évidem-' ment quand le cercle original est dans un plan parallèle au tableau, puisqu alors le côoe des rayons visuels est coupé par un plan parallèle à sa base; mais sans rien changer au tableau ni au point de vue, le cercle peut prendre une seconde direction dans laquelle sa perspective se trouvera encore circuleiire. Pl. i8, En effet, soit OAB un cône dont la base est le cercle AEB que nous regar- FiG. 4. derons comme horizontal ; en abaissant sur le plan de cette base une perpendiculaire OZ et tirant le diamètre CZ, nous déterminerons un plan OZG qui fournira les deux arêtes particulières SA et BS, et qui se nomme le plan principal du cône, attendu qu'il divise évidemment en deux parties égales, toutes les cordes de cette surface qui lui sont perpendiculaires. Gela posé, si Ion coupe le cône par un plan VXY perpendiculaire au plan principal, et qui soit incliné de telle sorte que sa trace verticale VX fasse un angle OA'B' égal à OBA, je dis que la section A'MB' ainsi obtenue sera un cercle.

Pour le démontrer, par un point quelconque M de cette courbe , menons un plan parallèle à la base; ce plan coupera le cône suivant un cercle GMH, et la section donnée suivant une droite MQ évidemment perpendiculaire sur le plan principal OAB ; de sorte que MQ sera une ordonnée commune aux deux courbes , et perpendiculaire sur les deux diamètres GH et A'B\ Alors, dans le cercle GMH, on aura

(i) MQ^ = GQxQH;

mais les deux triangles A'GQ et B'HQ étant semblables d après la condition admise plus haut, que langle OA'B' égale OBA, on aura la proportion ^

GQ:B'Q;:A'Q:HQ,

laquelle change 1 équation (i) ^^ celle-ci :

(a) MQ'=A'QxB'Q.

Par là , on voit que chaque ordonnée de la section A' MB' est moyenne proportionnelle entre les deux segments du diamètre A'B' qui lui est perpendiculaire ; donc cette section est un cercle. Elle est connue sous le nom de section antiparallèle, parce que le triangle OB' A' étant retourné» aurait sa base A' B' parallèle à âB.

FiG. 5. 384, D'après cela, étant donnés un cercle AEB dont je regarde le plan

CHAPITBE IV. — DES UGNES COURBES. l5l

comme horizontal , et un point de vue O dans Fespace, si je veux trouver un tableau tel que ce cercle y soil représenté par un autre cercle, j^abaisserai la verticale OZ dont je joindrai le pied avec le centre C , par le diamètre CZ qui déterminera les deux arêtes OA, OB, formant la section principale du cône; sur ces arêtes, je prendrai Oa = OA, 06 = 0B, et je tracerai la droite ab; alors, en menant un plan VXY perpendiculaire au plan principal OAB , et dont la trace VX soit parallèle kab/je serai certain que sur ce tableau VXY la perspective de AEB sera un autre cercle A'B', puisque les deux conditions du n® 385 seront entièrement remplies.

Réciproquement, si Ton assignait le cercle original AEB avec la position VXY du tableau, il serait aussi facile de trouver la situation O que doit avoir le point dé vue, pour que la perspective de AEB fût encore un cercle. On commencerait alors par mener, du centre G, un plan vertical CZO perpendiculaire à la trace borizontale X Y du tableau donné ; ensuite^ on mènerait dans ce plan vertical une première droite A A' de direction arbitraire, puis une seconde droite BB' formant un angle ABB' = AA'X, et ces deux lignes A A', BB', étant prolongées jusqu'à leur rencontre O, détermineraient ainsi le point de vue demandé. Mais on voit quici le problème est susceptible dune infinité de saiutions, puisque la première droite AA' a été menée sous une inclinaison arbitraire.

385. C'est sur le théorème du n° 383 qu est fondé le genre particulier de perspective employé dans les Mappemondes , et qui est connu sous le nom de projection stéréographique ; on se propose alons de trouver un tableau et un point de vue tels que tous les cercles d'une même sphère aient pour perspectives d'autres cercles, ce qui offre un tracé plus commode; or on atteint ce but en plaçant l'œil du spectateur en un point quelconque O de la surface sphérique , et en adoptant pour tableau un plan XY perpendiculaire au rayon 10 qui aboutit à ce point de vue.

En effet, soit AB un cercle quelconque de la sphère, lequel se projettera Pl. i8, sur la corde AB, si nous choisissons le plan de notre figure de manière qu'il FiG. 6. contienne le rayon OI et le rayon IG qui passe par le centre C du cercle donné ; car on sait que ce dernier rayon est perpendiculaire sur le plan du cercle. D'ailleurs , on doit apercevoir que le plan de la figure ainsi choisi sera précisément le plan principal (p? 585) du cône OAB formé par les rayons visuels. Or le tableau XY est bien perpendiculaire à ce plan principal, puisqu'il l'est au rayon OI situé dans ce dernier ; en outre , ce tableau coupe le triangle OAB suivant un autre triangle OA'B' semblable au premier, puisque les angles OAB et OB' A' ont tous deux pour mesure la moitié de l'arc OYB. Donc le

l4a UVRE U. ^ PERSPECTIVE UNÉAIRE.

projette sur AE, et aiqsi on pourra acheYer le parallélogramme ABCE, lequel représQQtera la projection du carré qui forme la base supérieure du cube. Maintenant, une des ajrétes perpendiculaires à cette base, par exemple celle qui part du sommet ( E, E" ) , sera projetée sur les directions EF, E^F", respectivjQment {x^rp^endiculaires aux traces AR*", R"S"; puis; si Ton prend E'' F"=Aâ, le point F" déterminera le sommet F^ ce qui permettrait d achever le paraUéiQgramme AEF, et par suite la projection des autres faces du cube ; mais nous n avons pas besoin d'en tracer davantage pour obtenir la perspective de ce cQrps« .1

363. Toutefois , nous chercberon» encore quelle est Imtersection RS' du tableau vertical XY, considéré comme un plan de projection, avec le plan S'^R" A qui contient la base supérieure du cube. Or, d après le n® SS de la Géométrie descriptive y on sait qu'il faut prolonger la trace S'^R"' sur le pro6l jusqu'à sa rencontre V" avec la perpendiculaire VV" élevée sur la ligne de terre VD; puis, en ramenant la droite rabattue VV dans la direction verticale VV, et joignant les points V et R , on obtiendra la trace verticale RS' du plan en question qui avait déjà RQ pour trace horizontale.

364. (»a posé, rabattons sur le géométral le tableau vertical XT^ après lavoir transporté parallèlement à lui-même en X'Y'; soit alors P le point principal , et P le point de distance , ce qui suppose qu'ici le point de vue est. audessous du géométral , disposition que nous avons adoptée pour rendre plus distincts les ré&uUats de la perspective. En portant aussi sur la verticale PZ du tableau, Tintervalle 7^0 = PD, nous obtiendrons en O la projection horizontale du ppint de vu? qui^t déjà projeté verticalement en P sur le tableau.

363. Afaiotènant» cherchons la Ugx^ de Juiie (n*" 282) de la face ABGE^ c est-à-dire l'iAtersection du tableau XY avec un plan tt parallèle à cette face, et mené par le point de vue (O, P). Cette intersection sera évidemment parallèle à la tr^çe RS'; et paur en trouver un point, je coupe ce plan ^ et le plan d'horÎT^n par un plan vertical 0& perpendiculaire à ARQ, ce qui produira un angle nécessairement égal à cj , dont le sommet sera an point de vue (O, P) , et dont les dçu^ eûtes irpnt percer le tableau XY sur la verticale T. Or, si je rabats cet aiigle sur le tableau autour de cette verticale, le sommet (O, P) se transportera en 0"i et si je tire la droite O'^T'' inclinée de la quantité w , elle ira couper La verticale T'T" en un point T'' qui restera immobile quand on ramènera 1 angle en question dans le plan vertical OT; donc le point T" appartient à Imtersection du tableau avec le plan tt, et par conséquent cette intersection sera la droite TV ipenée parailèlemeut à la trace V'RS'. Voilà donc la ligne