IX. Projeter un petit cercle normal au flan de projection

Soit yy une direction quelconque normale au plan du cercle donné, dont l'ouverture est mesurée par la distance angulaire a d'un

de ses points à l'un des pôles y ou y\ En portant de part et d'autre de y, sur le cercle de base, un arc mesurant a, nous avons déjà deux points a et c appartenant à la projection cherchée. Le troisième point nécessaire pour faire passer le cercle, est la projection de celui situé sur le méridien vertical passant par yy' à son intersection Fig. 507. avec le petit cercle; il est à une

distance a de y, ou 90° — a de x.

On l'obtiendra donc à l'intersection b de y y' avec la droite ax, ou en reportant à partir de 0 une longueur

06 = JBtang/45°-^)

Le centre de abc se trouve à l'intersection des perpendiculaires élevées sur les milieux de ab et 6c; on peut également le trouver en élevant une perpendiculaire sur le milieu de bb\ le point b' étant la projection du symétrique par rapport au plan de projection du pôle projeté en b (fig. 507).

X. Par un point a connu de la projection^ tnener un petit cercle normal à une direction donnée y y' du plan.

Soit a le point donné, on obtiendra le nombre de points nécessaires pour construire le cercle, en cherchant la projection de points symétriques de celui ^4, dont a est la projection par rapport au plan vertical xy ou au plan de projection xy.

Construisons la droite Oa et sa perpendiculaire xx\ joignons a avec x' (fig. 508). En A' se trouvera le rabattement de A sur le cercle de base, son symétrique B par rapport au plan de projection se rabattra évidemment en B\ au point où la perpendiculaire abaissée de A* sur Oa rencontrera le cercle de base. La perspective 6 de jB se trouvera sur Oa prolongé jusqu'à son intersection avec x* B\ Le troisième point nécessaire se trouvera à la rencontre d'une perpen-

Appendice ret&tif & la projection atétéographiqne

dîculaire abaissée de a ou de i sur yy', avec uoe droite Ob' symétrique de Oa par rapport k yy'. Avec une table de tangentes on obtient une solution très rapide. On mesure Oa, la distance angulaire a que représente cette ligne sera donnée par Oa

tangua =

Fig. 608.

Le symétrique B àe A par rapport au plan de projection se trouve & 180" — a du pôle de celui-ci; nous aurons donc pour Ob

Ob = R<iQig\a.

On peut encore résoudre graphiquement le problème d'une autre manière (fig. 509). On construit le grand cercle yay' et son pôle p pour mesurer la distance angulaire ay, ce qui permet de construire le petit cercle.

XI. Par un point donné a, mener un petit cercle perpendiculaire à une direction OD qudconque, dont te pôte se projette en d.

11 suffit de mesurer la distance angulaire ad pour obtenir l'ouverture du cercle à construire (voir V).

XII. Construire un petit eerde d'ouverture donnée a, perpendiculaire à une direction OD dont te pôle D se pr(yette en d.

On mène Od et sa perpendiculaire xz' (fig. 510), puis on construit le rabattement D' de D, et de part et d'autre de D' on reporte, sur le cercle de base, un arc D'^ = D' B' mesurant a. Joignant les points obtenus A'B' avec x', on aura en a et & les projections des deux points où le petit cercle rencontre le méridien Od perpendiculaire au plan du dessin. Le centre du cercle à tracer se trouve évidemment sur le milieu de ah.

Appendice relatif à la projection stéréographiqae

La construction renversée permet de construire la projection d du pôle d'un petit cercle.

XIII. Étant donné deux points a et b sur une projection^ en construire un troisième c dont la position est donnée par rapport aux deux autres.

Soit ABC les pôles qui correspondent aux projections abc, puis a et // les angles compris entre -4 et C et ^ et B. Le point cherché C se trouve évidemment à l'intersection de la projection de deux petits cercles d'ouverture a et lif tracés autour de -4 et -B (fig. 511). Comme il y a deux solutions possibles puisqu'il y a deux points d'intersection, il faudra examiner dans chaque cas celle qui doit être ^^* prise en considération.

XIV. Évaluer la distance angidaire comprise entre deux points a et 6, situés sur un petit cercle.

Par le pôle u du petit cercle, et les points donnés a et 6, on mène deux grands cercles; l'arc ab sera mesuré par l'angle compris entre

Fig. 612.

Fig. 613.

ces grands cercles (fig. 512). Si le petit cercle est perpendiculaire au plan de projection, l'angle entre les cercles méridiens mesurant l'arc ab est obtenu comme l'indique la fig. 513 et représenté en vraie grandeur par l'arc mn,

XV. Rotations, Il s'agit maintenant de trouver la position qu'occupe un point quelconque a de la projection après lui avoir imprimé une rotation a autour d'un certain axe. Les constructions précédentes fournissent aisément la solution (fig. 512 et 513). On mène un petit cercle perpendiculaire à l'axe de rotation passant par le point donné, puis on construit deux grands cercles, faisant entre eux l'angle a, par la projection u du pôle de l'axe de rotation; l'un d'eux passe par le point a donné. L'intersection b du petit cercle avec le deuxième grand cercle construit donne le point b cherché.

Appendice relatif à la projection stéréographique