COMPOSITION DE DEUX MOUVEMENTS VIBRATOIRES
11. Cas des mouvements perpendiculaires. Lorsque plusieurs mouvements vibratoires se produisent simultanément dans un même milieu, ils se composent suivant les lois de la mécanique pour donner un
Coinposition de deux mouvements vibratoires 9
mouvement résultant. Ces mouvements peuvent être perpendiculaires, parallèles, ou faire les uns avec les autres des angles variés; nous ne considérerons que les deux premiers cas, qui seuls présentent pour nous de l'intérêt.
Soit deux mouvements perpendiculaires s'effectuant respectivement suivant les droites x et y et définis par les équations:
a; = a sm (t + y)
y = b sin [t + i//).
La forme de la trajectoire se trouve en éliminant t entre les deux équations, on aura:
[. 27tt 27t(p . 2 7tt . 27t(p^ sm cos — - + cos sm — - T T T r J
,r. 27tt 27tW , 27tt . 27nîi\ y = 6 sm cos — - + cos sm — - 1-
Multiplions la première de ces équations par 6 cos —^ et la seconde par a cos — — et retranchons les deux résultats l'un de l'autre ; on a
, 27tilj 27tœ j 27tt . 27t , .
xb cos — — î- y a cos — = ab cos sm (y — ip).
Multiplions maintenant la première des deux mêmes équations par b sin — et la seconde par — a sin — - et ajoutons les deux résul-
tats, il vient alors
, . 27ixp . 27tcp , . 2nt . 271 , ,
xb sm y a sm — = — ab sm sm (cp — ^Y
Elevons au carré les deux équations obtenues et additionnons, nous aurons:
6*x* -i- a*y* — 2abxy cos — (cp — r/;) == a* 6* sin* — (?> — (p)-
C'est l'équation d'une ellipse, dont la longueur et la position des axes principaux dépendent des amplitudes a et 6 des vibrations composantes, ainsi que de leurs différences de phase,
rr
Si la différence de phase (ip — xp) est égale à -j^ ou à un nombre impair de -j-, cos — -[(p — ?//) = 0 et sin (ç) — (/;) = i. Le
Interférences
rectangle xy s^annulant, l'équation de Tellipse sera rapportée aux axes X et y et deviendra:
Si Ton pose a = b, c'est-à-dire si les amplitudes composantes sont égales, cette équation devient: x^ + y^ = a* qui est celle d'un cercle de rayon a.
Mais si //> — i/; = — .— , c'est-à-dire un nombre pair de ^-
cos
-{(p^ip)=l
sin«— -(r/)-i/;) = 0,
nous aurons alors
b^x* 4- a«^« zb 2abxy = 0.
Selon que n est pair ou impair, cette équation donnera
?/ = x et ié = X
ce qui représente deux droites inclinées de part et d'autre de y, el diagonales du rectangle construit sur a et 6. La vibration résultante sera donc rectiligne, si (p — ip est égal à un nombre pair quelconque
de -j-, et dirigée selon les cas parallèlement à l'une ou l'autre des
diagonales du rectangle construit sur a et 6.
12. Cas des mouvements parallèles, interférences. Soit deux vibrations de même période et d'amplitude a et a'; si la différence d( phase entre ces deux mouvements est nulle, ou égale à un nombre
entier 2 71^ de demi-périodes, une même particule d'élher sera sol
licitée à se déplacer sous l'influence de l'un et de l'autn de ces mouvements suivant h môme direction et dans le même sens. Il y aura addition, et 1î nouvelle amplitude A sera don< 4 = (a + a'). Ce phénomène s'appelle interférence positive Si la différence de phasi correspond à un nombre impai
de demi-périodes, soit (2n + 1) -^ , l'état vibratoire du milieu sous l'in
Fig. 10.
Interférences, construction graphique et calcul
fluence du premier mouvement sera figuré par la courbe I, tandis que la courbe II nous montre Tétat du même milieu sous l'action du second mouvement (fig. 10). Il est dès lors évident qu'une même molécule étant sollicitée par deux forces de signe contraire, l'amplitude résultante A sera: A = [a — a'), et si a = a', -4 = 0; il n'y aura donc pas de lumière. Ce phénomène s'appelle interférence négative. Il reste encore à envisager le cas où la différence de phase est
quelconque, c'est à dire différente d'un membre pair ou impair de -^•
Dans ces conditions, il y a encore composition et formation d'une onde unique, dont l'amplitude et la phase sont différentes de celles des composantes.
13. Constrnction graphique et calcul des interférences. La construction suivante va nous permettre de résoudre graphiquement tous les cas possibles d'interférence. Nous avons vu que le mouvement vibratoire peut être représenté comme celui de la projection d'un point, se mouvant sur un cercle de rayon égal à l'amplitude, et avec
une vitesse angulaire
Soit
constante.
jt
X^ = a sin [t + y)
T = a. sm (t -\- ili)
deux mouvements vibratoires qui s'effectuent suivant la même droite (fig. 11). Le mouvement résultant -X s'obtiendra en projetant sur 0-X la résultante du parallélogramme construit sur OK = a et 0M= a^, car ces deux valeurs restent
2/t constantes de môme que l'angle — {cp — rp)
compris entre elles.
L'extrémité du vecteur OR se déplacera sur un cercle, dont le rayon A n'est autre chose que Pamplitude du mouvement résultant. Portons dans le sens du mouvement des vecteurs une droite OL faisant
27tt
avec OF un angle , les angles a, /^, y
compris entre cette droite et les vecteurs OK, OM et OR expriment
9 TT fr\
les phases des mouvements composants et résultants soit a = ^,
12 Interférences, constmction graphique et calcul
*^ 1 Uf 2 /r 0
,i= "' et V = '- On déduit de l'examen de la figure, nor r
tumment du triangle OKR la, relation:
A* = a* + a] + 2aa^ cos [tp — tp)
qui dépend non seulement de a et de a^J mais encore de la différence do phase t'» — y des deux mouvements. Pour une valeur donnée de a et <!,, elle tend vers un maximum A = a + a^ lorsque tp — y = 0
lui est égal à un nombre pair de demi-périodes {ff — (/;) = 2« -g- auquel
oas la surface du parallélogramme s'annule.
-•l devient au contraire minimum, si Mp — i/O = (2n -f- 1) -s- , de plus
A = 0, si rt = a,. Il y aura donc dans ce cas destruction complète du mouvement.
Quant i\ la phase du mouvement lésultant, elle se déduit également de Texamen de la figure: on a en effet:
l tang - di = 3= =
00 qui donne
,^ a sin - ff -f- a, sin — lîf
tang ' ifi = — —
«I cos — - «J -r rt, cos t'*
On voit donc que le mouvement résultant est un nouveau mouremont vibratoiri\ défini par Téquation
X = .4 sin " ' / 4- *
ôont i'ampMîudo ot !a phase se déduisent des équations 1 et (2).
Ce::o i\^î^s:r;:oîîon peut otrt'' cer.eralisoe et e;endue à un nombre .îuo\vr.>î;:o vîo n;o;;voîr,o:.îs vibratoires de :::én:e période à composer, l^ rt^s;;'.:;*r,:o du uuvavo:v.c::t sen\ o^iieir.er.t un mouvement Tibratoire,
dof.:;: par 'a vro;oo::ov. sur i*-\ do la drvite qui ferme le polygone
«U«*.v «•.•t..X v\ ..>«.«..« >«k. .1 > «î...»^..»,«^.i > vv ...«.X ^>itl•it^.
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U. Uierfrr^io^ fi liMièrr VhHckf. S. ::.^v.s appliquons ce qui >'.:'*; d*i':rt* d,: à,: .,:> v. .-i ■..:'..-::-. .. s'tv. >;::: vvz:n:e conséquence
.:-;.:\ rs.^ . : s .v.:"iv.,:v.\ .:^* ziéme nature, c'est- .::v.u?t* :v..:.vV'.:c:v.s.::o..i. ,^/.:;i v:«: cfe: le renforcement
Interférence en lumière Manche 13
OU la diminution, voire même l'annulation complète de l'intensité lumineuse.
Si par contre les deux rayons lumineux sont formés par de la lumière blanche contenant les mêmes radiations avec les mêmes intensités respectives, il est évident qu'une différence de phase qui atteint une demi-période pour une radiation déterminée, aura pour effet de faire interférer négativement cette radiation qui disparaît. Mais il ne pourra en être de même pour les autres radiations dont les périodes d*oscillation sont différentes, et qui par conséquent tout en interférant, ne donneront jamais une résultante qui sera nulle.
La lumière ne pourra plus être blanche, puisqu'il y manquera la radiation détruite par interférence, elle paraîtra donc colorée de la teinte complémentaire, ce que Ton peut vérifier d'ailleurs en analysant au spectroscope cette lumière colorée, dans le spectre de laquelle la radiation supprimée produira une bande obscure.
Supposons maintenant un retard jB quelconque, nous aurons interférence entre les radiations pour lesquelles les durées d'oscillations rr, r^Tj satisfont aux conditions
R = n^ = -^' = 2* etc.
Cette interférence sera positive si n est pair et négative si n est impair. On voit donc qu'un même retard peut éteindre ou renforcer simultanément plusieurs radiations constitutives de la lumière blanche.
Pour une différence de phase quelconque, les choses se passent en somme comme si l'un des rayons qui interfèrent se trouvait en avance ou en retard sur l'autre, et comme l est proportionnel à r, car nous avons X = Fr, nous pourrons toujours exprimer les retards soit avec r, soit avec A, ce qui correspond dans ce dernier cas à une différence de chemin parcouru exprimée en millionièmes de millimètres.
Si donc nous faisons croître les retards de 0 jusqu'à une valeur quelconque ni de la lumière jaune du sodium par exemple, la lumière, d'abord blanche, passera par une succession de teintes diverses, dans lesquelles nous trouverons nécessairement une certaine périodicité. En effet,
toutes les fois que le retard sera de ' , -j^- , ,^' etc. pour le jaune
en question, cette radiation sera détruite, et la teinte complémentaire
apparaîtra; il en serait évidemment de même pour les autres radiations.
A mesure que les retards augmentent, le nombre des interférences
possibles pour les diverses radiations s'accroît, ce qui aura pour effet
un affaiblissement graduel de la teinte résultante. Lorsque les retards
Ordres de Newton
seront très grands, il y aura pour toutes les régions du spectre de; interférences positives et négatives par le fait que, comme il existe pour une même couleur une série de nuances représentées par uni très petite variation de >., le même retard qui fait interférer négative' ment une certaine nuance de X déterminé, renforce au contrairt la radiation voisine, qui interfère positivement. Ainsi par exemple deux radiations voisines situées dans la bande spectrale rouge, el possédant des longueurs d'ondes A et i.' dont les valeurs en millionîèmef de millimètres sont:
interfèrent, l'une positivement, l'autre négativement, pour un même retard R
millionièmes de millimètres, qui correspond exactement à 9^ À poui l'une, et à lOjA pour l'autre de ces deux radiations.
15. Ordres de Newton et Wanc d'ordre snpérienr. Ce phénomène pourra se passer simultanément pour toutes les régions du spectre, il en résulte que nous aurons pour toutes les couleurs des interférences positives et négatives et que par conséquent il restera dans la lumière transmise toutes les radiations nécessaires à la formation de la lumière blanche. Celle-ci sera cependant considérablement affaiblie par suite de la suppression d'une grande partie des radiations; cette lumière atténuée et d'un blanc grisâtre, porte le nom de blanc d'ordre supérieur, tandis que les périodes observées dans la succession des teintes sont généralement désignées sous le nom d'ordres de Newton.
§6. FRANGES DE FRESNEL ET DTOUNG.i 16. Théorie des franges. Les franges de Fbesnel consistent en une série de bandes alternativement lumineuses et obscures, qui se répètent symétriquement de part et d'autre d'une frange centrale lumineuse; leur formation s'explique aisément par les interférences.
Imaginons deux points lumineux S^ et 5^ (fig. 12) qui vibrent en concordance de phase, et qui émettent de la lumière de même période et de même amplitude. Prenons sur un écran un point P, tel que les chemins S^P et 5,P soient égaux. Le retard entre les deux mouve-
1 T. YouNo, Lectures on natural philosophy, Londres 1807, 424. FrB9hkl, Hëm. de l'Instilut, 1621, V. 339. Œavrcs I. 330,
Franges de Fresael et dToung 15
vements partis de S^ et 5, sera nul cri ce point, et il y aura donc interférence positive en P, c'est-à-dire une frange lumineuse. Prenons un second point P^ situé de teHe façon que la différence des chemins
8^P^ — 8^P^ = il y aura interférence négative en P, et formation
d'une frange obscure; et il en sera évidemment de même en PJ sy-
k métrique de P^ où S^P', — S^P; = -^- également. En un troisième
point P,, la différence des chemins parcourus S^P^ — S^P, = A, et il en sera de même en Pi avec 5, P; — 5, Pi = A ; aux points P, et PJ il y aura de nouveau des franges lumineuses et ainsi de suite.
Il est bien évident que la distance qui sépare les points P et P^ dépend de la valeur de A; plus cette valeur est petite, plus la différence 5, P^ — S, P^ Test également, et plus le point P, se rapproche de P; il en résulte que l'écartement des franges diminue avec la longueur d'onde.
17. Dispositifs expérimentani. Pour réaliser l'expérience des franges de Fresnel et pour obtenir deux points qui vibrent en concordance de phase, on peut employer deux dispositifs principaux qui sont:
1° Le biprisme de Fresnel. C'est une lame de verre (fig. 13) limitée d'un côté par une face plane, et de l'autre par deux faces formant entre elles un angle très obtus. On peut démontrer que les rayons qui viennent concourir en un point quelconque tel que P, se comportent comme s'ils provenaient de deux sources lumineuses S^ et 6*,, qui ne sont que les images virtuelles du point *S, vibrent en concordance de phase, et possèdent la même intensité.
2" Les miroirs de Fresnd, Ce sont deux miroirs pians de verre noir, formant entre eux un angle très obtus. Un dispositif spécial permet de faire varier cet angle ainsi que l'orientation du plan d'incidence de l'un d'eux. Par ce dispositif, on réalise comme avec le biprisme, deux sources lumineuses de même Fig. 13.
intensité et vibrant en concordance de phase, qui sont les images virtuelles d'un même point lumineux fournies par ces deux miroirs.
Il est évident que l'écartement des franges dépendant de la valeur de X pour une position donnée des sources S^ et 5, et de l'écran, on pourra précisément mesurer les longueurs d'onde des différentes radiations en utilisant l'un des dispositifs indiqués ci-dessus.
Ondes lumineuses Principe dUaygens
