R ^ CP

Les deux triangles SP C et SP' C sont donc semblables et l'angle

CP'S = iy on a encore:

sin / sin r

Fig. 131.

-P et une

En résumé, tous les points qui seront situés comme P sur la sphère de rayon r, défini par l'égalité ci-dessus auront un conjugué P', situé sur une sphère de rayon r^, vers lequel convergent après réfraction les rayons du* faisceau incident dont le sommet est en P. Il est à

Lentilles

remarquer que ces points sont sans aberration, et répondent à la con-

sm 1^ Th dition -: — = -1 = constante, qui se déduit de la dernière équation, sinr «,

Enfin il faut encore démontrer que les rayons émanant d'une sphère ont également leur foyer conjugué sur une sphère concentrique. Soient P et P^ deux points quelconques, les droites PC eiP^C jouissent optiquement des mêmes propriétés; le conjugué de P sera sur PC, à une certaine distance CP' et lé conjugué de P, sur CP^ à Fig. 132,

une distance CP^' = CP' (fig. 132).

lOL Béfraction à travers deux surfaces courbes, lentilles. Supposons maintenant le corps réfringent limité par une seconde surface sphérique de rayon R (fig. 133). Pour simplifier nous ne nous occuperons que du cas où le troisième milieu dans lequel pénètre la lumière

Fig. 133.

est de môme nature que le premier, Tair par exemple. Nous admettrons en second lieu que la deuxième surface est suffisamment rapprochée de la première pour qu'il soit permis de négliger l'épaisseur du corps réfringent. Le rayon PA subit en traversant la seconde surface une nouvelle réfraction, et passe par le point P'. Les points P et Pj sont liés par la relation suivante:

p p, li

et les points P, et P' par l'équation:

P Pi ^

étant situés du même côté de la face réfringente.

Doparc A Pearce I. 7

Instruments d*optiqne

En ajoutant ces deux égalités, il vient:

Cette équation est celle des foyers conjugués. Si p = oo on aura :

les rayons parallèles à l'axe principal, convergent alors en on point appelé foyer principal f. Si l'on posait p' = c», on aurait évidemment un résultat analogue. En tenant compte de la relation indiquée, l'équation des foyers conjugués pourra s'écrire enfin comme suit:

car

Cette formule permettra de trouver les positions de p' si on fait varier p depuis f èl oo.

102. Divers types de lentilles. En combinant les différentes courbures entre elles et celles-ci avec le plan, on arrive aux six com-

lA

Fig. 134.

binaisons réfringentes indiquées par les (fig. 134). Les trois premières sont des lentilles convergentes, elles ont un foyer principal réd F, qui se trouve à l'intersection des rayons qui ont traversé la lentille (fig. 135),

Fig. 135.

Fig. 136.

et qui sont issus d'un faisceau parallèle à l'axe principal, elles portent le nom de lentille biconvexe a), lentille plan convexe b) et ménisque convergent c). Les trois dernières sont divergentes, leur foyer est virtuel^ et se trouve en i^ à l'intersection du prolongement des rayons qui ont traversé la lentille (fig. 136).

Lentille*

Pour celles-ci l'équation des foyers conjugués deviendrait évi- ' demment: 111

V~Y~T OD les appelle (fig. 134) lentilles biconcaves d], plan concave e] et ménisque divergent f).

103. LcbUIIm épsisseg. Dans les développements qui précèdent, nous avons supposé l'épaisseur de la lentille négligeable vis-à-vis de sa distance focale. Lorsque les lentilles sont épaisses, leurs propriétés sont un peu dilTérentes, maïs se déduisent cependant assez facilement de la connaissance de leurs points cardinaux, notions introduites par Gauss dans la théorie des lentilles. Ceux-ci sont au nombre de six, à savoir: 1° Les foyers principaux et les plans focaux; Les foyera principaux F et F' ont la même signification que dans les lentilles minces; quant aux plans focaux principaux, ce sont des plans normaux à l'axe principal et passant par chacun des foyers.

2° Plans et points prineipata. On appelle plans principaux, deux plans MM' perpendiculaires à l'axe principal, qui sont les lieux des M W

aA

Fig. 137.

inlersections des rayons SA parallèles à l'axe, avec ceux BF qui en résultent après réfraction au travers de la lentille, et passent par 'e foyer principal [fig. 137). Dans toute lentille épaisse il y a deux plans principaux MM', puisqu'il y a deux foyers F et F' situés à une distance f de ceux-ci; l'intersection de ces plans avec l'axe principal fournit les deux points principaux n et .V. Une étude détaillée des lentilles épaisses montre que, si les deux milieux sont identiques, les distances d et d' des plans principaux aux faces de la lentille sont proportionnelles aux rayons de courbure R et R' des faces, on aurait les relations:

. Re ,, R'b^

«(i; + ii')é(«-l) " '' -«(S + /;')-c(«-l] qui donnent; ,

Instmments d'optiqae

dans lesquelles e représente Tépaisseur de la lentille. On voit aisément que si e est nul, les deux plans principaux se confondent, ce

Fig. 138.

qui est le cas pour les lentilles minces. La fig. 138 représente la position des plans principaux des diverses lentilles.

3° Points nodaiix. Soit A et A' deux points choisis de telle façon que les plans tangents en ces points aux faces de la lentille soient parallèles.

Le rayon incident 7-4 qui donne naissance I au rayon réfracté AA\ sortira parallèle-

ment à sa direction première, puisque tout se passera comme si le milieu réfringent était ici limité par deux faces parallèles. Si on prolonge les rayons incident et émergent lA et AT jusqu'à leur rencontre avec Taxe principal, leurs intersections N et N' s'appellent les points nodauXj tandis que le point 0 où le rayon AA' coupe l'axe principal, porte le nom de centre optique (fig. 139). I» La position de ce centre optique dépend

évidemment des rayons de courbure des surfaces qui limitent la lentille. De plus, on démontre que, lorsque les deux milieux sont les mêmes, les points nodaux N et N' se confondent avec les points principaux.

Les distances focales principales se comptent à partir des plans principaux, elles sont différentes si les trois milieux à travers lesquels se propage le rayon sont différents, et égales si les deux extrêmes sont les mêmes. Dans ce dernier cas on aura:

Fig. 140. ^ "" {n - 1) [n {E + R) - e (n - 1)] '

Si l'épaisseur e = 0, on retombe à nouveau sur la formule donnée pour les lentilles minces, dans lesquelles les

Fig. 139.

Lentilles 101

points principaux et nodaux se confondeot avec le centre optique 0. Ce point jouit donc de la propriété que tous les rayons qui passent par lui, ne subissent aucune déviation (fig. 140).

104. Consirnction des fnages. Elle revient à la recherche des foyers conjugués des divers points de l'objet. Soit B un de ces points ■fig. 141.); par B on mène un rayon parallèle à l'axe jusqu'à sa rencontre en P avec le premier plan principal, puis on trace la droite PF qui représente la direction du rayon émergent.

l'^Xr^^-

Fig. 141.

On construit ensuite la droite BF' par le second foyer principal, mène le rayon émergent P'B', et â l'intersection, en B' avec FF, se trouvera le foyer conjugué de B. Une construction identique devrait évidemment être faite pour tous les points de l'objet A II. On peut également trouver le foyer conjugué B' en joignant B avec le premier point nodal W, puis en menant une parallèle iVB' àBiVpar le deuxième point nodal N'. L'objet et l'image sont situés à des distances p etp des plans principaux, et auront des dimensions qui sont D = ABetD' = A'B. L'examen de la ligure montre que l'on peut tirer les relations:

Sl-^f et Sl-f'-f

En égalant ces deux équations, on tire la relation:

qui est celle des foyers conjugués. L'on déduit encore:

D p Q exprime le grossissement, c'esl-à-dire le rapport de la dimension linéaire de l'image à celle de l'objet. Si cet objet est situé & une distance p > /", cette image est toujours réelle, et pourra être reçue sur un écran, si par contre l'objet se trouve à une distance p-Cf, la construction précédente montre alors que cette image A' B' est

Iiutnancnts d'optiqae

Tirtaelle et agrandie (fig. 142': elle oe poorra être reçoe sor an écran, mais sera visible ponr l'œil placé de l'aDlre cMé de la lentille.

10&. AssMiati» de leatflles. I^a connaissance des points cardinaux permet de trouver l'action produite par un système quelconque de lentilles; nous ne nous arrêterons pas aux démonstrations qu'on en peut donner, et que l'on trouvera dans tous PI j^ les traités de physique; nous

nous bornerons à énoncer les résultats, en supposant les deux milieux extrêmes identiques.

1" Cas: Deux lentilles L et L' sont situées à une distance x mesurée entre les plans principaux P' et P, (fig. 143).

On démontre que le système équivaut & une lentille unique , possédant deux plans principaux Il et 7t', et une p. j^ distance focale princi-

pale (p. Ces éléments sont liés entre eux par les relations suivantes:

d représente la distance entre les plans principaux P et «, et d' celle entre i',', ?('.

2" Cas de plusieurs lentilles. Ce cas se déduit aisément du précédent. On remplacerait tout d'abord deux des lentilles par une première lentille équivalente, et on continuerait de la sorte pour les autres lentilles, du façon à ramener tout le système à une seule lentille, dont la distance focale porte le nom de distance focale équivalente.

Si les lentilles sont minces, d et d' deviennent alors les distances qui loa séparent des plans principaux rr et n'; dans bien des <as la longueur représentée par x peut être négligée par rapport à

Aberrations des lentilles 103

celle de f et de f ; la valeur de la distance focale équivalente 9) sera alors représentée par

106. AberratioB sphériqne. Dans ce qui précède, nous avons examiné la réfraction à travers les surfaces courbes et les lentilles, dans le cas où celles-ci ont une faible ouverture, et nous avons établi les conditions qui déterminent la formation des images. Nous avons vu (a. 101, p. 97) que la lumière émanant d'un point P placé en avant d'une surface réfringente sphérique, converge après réfraction en un autre point P^ , situé comme P sur Taxe principal, et dont la position est donnée par l'équation:

Cette équation n'est plus applicable lorsque le faisceau incident est de large ouverture; les rayons émanant d'un môme point et qui s'écartent de l'axe, convergent après réfraction en des points d'autant plus rapprochés du sommet de la surface que l'angle a que forment les rayons incidents avec Taxe est plus grand. Les rayons marginaux tels que Fig. 144.

PA (fig. 144) convergent en un point B distant du point P, où se réunissent les rayons centraux

d'une quantité:

1 = BP,,

que l'on appelle aberration longitudinale. Les rayons réfractés qui leur correspondent prolongés, découpent sur un plan normal à l'axe et passant par P^ un cercle, dont le rayon q ^^ P^C mesure Vaherratimi latérale. n est évident que A et g dépendent eux-mêmes de ^, et diminuent avec l'ouverture. Nous ne voulons pas entrer dans une étude détaillée de cette aberration qui porte le nom d'aberration sphéri<iue; on trouvera dans l'ouvrage de M. Czapsky^ cette question développée tout au long, nous désirons simplement insister sur quelques résultats particulièrement importants 2 pour la compréhension des corrections apportées aux systèmes optiques.

1 D. S. CzAPSKY, Grundziige der Théorie der optischen lo^trumente. Deuxième édition. 1904.

2 Chwolson. Traité de physique; traduction française. II. Paris 1906.

104 Instmments d*optique

Dans une première approximation, on a:

qui établit une relation entre Taberration latérale et longitudinale, puis en combinant cette relation avec (1) on obtient en négligeant les puissances supérieures de y.

puis

Remarquons en passant que X est négatif pour les lentilles concaves, et qu'on peut donc le réduire à zéro en combinant une lentille convexe à une lentille concave.

Si dans ces formules, nous faisons p = a, nous aurons les aberrations au foyer principal, et obtiendrons:

L'aberration existe en général pour tous les foyers conjugués, mais si nous nous reportons à la construction de Weierstrass, nous remarquons qu'il existe cependant deux points conjugués sans aberration sphérique, et satisfaisant de plus à la relation:

sina n^ ^ ^

= — ^ = constante.

L'expression complète des aberrations longitudinales des lentilles est d'une forme extrêmement complexe, nous nous bornerons à indiquer simplement quelques-uns des résultats les plus importants.

1° Avec une seule lentille, l'aberration sphérique ne peut être annulée, on peut seulement la réduire à une valeur minimum en donnant aux deux surfaces de la lentille des rayons de courbure convenables.

2P L'aberration peut être annulée par la combinaison de deux lentilles.

3° L'aberration au foyer est minimum pour un faisceau incident parallèle à l'axe et pour une lentille d'indice n = 1,5, si le rapport des rayons de courbure:

^ — JL iî' "" 6

Aberrations des lentilles

à condition que la face la plus convexe soit tournée du côté du faisceau incident.

4° Avec les lentilles plan-convexes, fréquemment employées dans les instruments d'optique, la face convexe doit être tournée du côté des rayons les moins convergents, et l'aberration au foyer est quatre fois plus petite, que dans le cas contraire.

107. Aplanétisme des systèmes optiques. Nous venons de voir qu'avec une combinaison convenable de lentilles, un système optique, que nous pouvons pour simplifier, représenter par un plan 5, peut être débarrassé de l'aberration sphérique, et donnera par conséquent en F' une image parfaite d'un point P situé sur l'axe principal, ceci pour un faisceau de grande ouverture. Mais cette propriété n'est pas nécessairement réalisée pour tous les points de l'espace. Considérons d^abord (fig. 145) le cas

d'un élément plan AP perpendiculaire à l'axe, passant par un des points dépourvus d'aberration P. Si le système était de faible ouverture, nous obtiendrions une image A'r\ due aux rayons centraux,

Fig. 145.

avec un grossissement linéaire 0 = -

AP

Avec une grande ouver-

ture, les rayons marginaux fournissent une image P' A" passant nécessairement par P\ mais avec un agrandissement qui diffère. Il en résulte que le faisceau de grande ouverture, donnera nécessairement une infinité d'images différemment agrandies, qui se superposeront. Helmholtz, Clausius, Abbe, et d'autres ont montré qu'un système optique est aplaiiétique ^ c'est-à-dire donne une image parfaite d'un élément plan perpendiculaire à l'axe, lorsque la relation:

— ; — - = — ^ G = constante

est satisfaite. Dans cette expression a et /î sont les angles que fait avec Taxe un rayon émanant de P, dans le premier et le deuxième milieu dont n^ et n, sont respectivement les indices de réfraction. Si nous comparons cette formule avec celle:

—r—- = ^ = constante sm fi n.

106 Instronients d'optiqne

relative aux poiats sans aberration de la sphère, nous voyons que )a condition d'aplanétisme est approximativement remplie pour ceux-ci. Enfin on démontre encore que si l'on prend sur l'axe principal un petit élément comme P, P, le système n'en donne une image parfaite que si la condition:

— — = constante

est remplie pour tous les rayons du faisceau; mais comme d'autre part pour le point P, les rayons doivent satisfaire à. la condition:

il s'ensuit que le système optique ne peut donnée une image parfaite d'un élément P, P de l'axe.

lOH. Astigmatisme. Considérons maintenant un faisceau de rayons émanant d'un point d'un élément plan normal à l'axe principal; l'onde sphérique incidente deviendra, après avoir traversé le système optique, une surface à double courbure. Les rayons lumineux situés dans le plan méridien passant par l'axe principal étant réfractés différemment que ceux situés dans un plan équatorial, normal au précédent et passant

par l'axe du faisceau incident, l'onde émergente ne peut être sphérique. Le faisceau de rayons normaux à cette onde non sphérique donnera naissance ii deux petites lignes lumineuses aob et co' d parallèles aux lignes de courbure B'Iili" et ABC (Qg. 146). Les normales élevées en tous les points de la courbe ABC se rencontrent en son centre de courbure 0, et celles de la courbe B'BB" au point 0\ qui est le deuxième centre de courbure, situé sur la droite BOO'. Si nous considérons les courbes A B' C et A"B"C" comme parallèles, et très rapprochées de ABC, leurs normales se rencontrent en a et b, et déterminent une petite ligne parallèle à B'BB", située dans le plan méridien. Les normales iiA'AA", B'BB" et C'CC" se

Ab«trfttîona des lentilles

rencontrent également sur une autre ligne co'd qui est perpendiculaire au plan méridien. En outre les lignes aob et co'd peuvent être considérées comme de petites droites.

Si nous appliquons ce résultat aux différents points d'un élément plan normal à Taxe principal, nous trouverons que son image est située sur une surface de révolution à deux nappes, qui est le lieu géométrique des droites focales afférentes à chacun des pointa de l'élément. Ces deux nappes sont tangentes sur l'axe principal, et se réduisent à une surface unique dans les systèmes anastigmatiques corrigés pour cette aberration. Les conditions d'anastigmatisme n'ont été formulées que pour des faisceaux faiblement inclinés sur l'axe principal.

109. Coarbnre dn champ. Supposons un système optique anastigmatique, fournissant une image aplanétique des différents points d'un objet plan. Celle-ci n'est pas nécessairement plane, et peut se trouver snr une certaine surface de révolution dans laquelle se résolvent les deux nappes du système débarrassé de l'astigmatisme.

110. Distorsion. On appelle ainsi une nouvelle aberration qui provient du fait que le grossissement varie dans les différentes parties dn champ, et qu'une droite qui ne coupe point l'axe, donne comme image une courbe. Si le grossissement croît vers la périphérie du

Fig. 147.

champ, un réseau tel que celui représenté par la fig. 147a prendra l'aspect reproduit par la fig. 147i (distorsion en croissant); si au contraire il diminue vers la périphérie, on observera la disposition réalisée dans la fig. 147 c, et appelée distorsion en barillet. Un système optique qui donne une image géométriquement semblable à l'objet, est dit La condition d'orthoscopie est exprimée par la formule:

^ := - -^ = etc. == constante.

tango tanga,

tang^ ~ langjï,

Dans cette expression, a, a^ etc. sont les angles que font dans le premier milieu les axes des faisceaux incidents avec l'axe principal, et /*, ^^ etc. ceux qu'ils forment dans le deuxième milieu.

108 Instraments d^optiqne

111. Aberration de réfrangibilité. Lorsque la lumière n'est pas homogène, chaque radiation possède un foyer différent. Il en résulte que pour un même objet, nous obtiendrons une image qui aura une position différente pour chacune des radiations du spectre. Ce phénomème constitue Paberration de réfrangibilité, il est important de le réduire au minimum chez les divers systèmes optiques employés dans les appareils.

Les lentilles achromatiques, c'est-à-dire celles qui sont corrigées pour l'aberration de réfrangibilité, sont obtenues par la combinaison

d'une lentille convergente de l . A i.^ crown avec une divergente de

K^^'^'^A^^^^^ fli"^- Soit en effet (fig.148) une

Lu ^4îpi^^^^ lentille de crown, dont le foyer

Il ,."'^'^^ ^ pour les rayons rouges est en

I \J^^''^^ Fy et celui pour les violets en

^ -F'. Si nous prolongeons le

^^^' ^^^' rayon incident lA, l'angle a re-

présente celui de la déviation éprouvée par les rayons rouges, tandis que a + fi correspond à langle de déviation des rayons violets. Les autres radiations qui sont moins réfrangibles que le violet et plus réfrangibles que le rouge, ont leurs différents foyers échelonnés entre F et F', en des positions qui dépendent de la façon dont se comporte le verre relativement à chacune d'elles.

Soit maintenant une lentille divergente de flint, qui reçoit un faisceau convergent tel que IBT. Les rayons rouges convergent en un point q> plus rapproché de la lentille que celui tp' où se rencontrent les rayons violets (fig. 149). Si le foyer de cette lentille est deux fois plus long que celui de la précédente, et si de plus l'indice du flint employé est, pour le rayon rouge, le même que celui du crown, tandis que son pouvoir dispersif est deux fois plus grand, nous aurons, pour les rayons rouges, une déviation représentée par \a^ et pour les violets ^a + /?. En juxtaposant maintenant les deux lentilles comme

Loupes simple et composée 109

l'indique la fig. 150, les rayons rouges émanant d'un faisceau incident

parallèle à l'axe éprouveront, dans la première de ces lentilles, une

déyiation a contre Taxe^ et dans la seconde, une déviation

\a en sens inverse. La déviation totale y des rayons rouges

sera donc:

Quant aux rayons violets, ils éprouveront dans la première lentille une déviation égale à (a + /^), et dans la seconde une déviation — [\ci + fi) en sens inverse, de sorte que f*»?- 1^la déviation qu'ils subiront en traversant le système, sera identique à celle éprouvée par les rayons rouges, car nous aurons:

Il en résulte donc que les rayons rouges ainsi que les violets, auront, dans la combinaison réalisée, un foyer commun. Un tel système est dit achromatisé pour deux couleurs.

Dans l'exemple que nous avons choisi, nous avons supposé que les deux verres possédaient pour le rouge le même indice; s'il n'en était pas ainsi, il est évident qu'il faudrait alors calculer le foyer de la lentille divergente. Nous ne pouvons entrer Jci dans le détail de cette question, et nous renverrons le lecteur qu'elle pourrait intéresser à l'ouvrage de M. Czapsky cité précédemment Nous ferons encore remarquer que l'achromatisme ne peut être réalisé simultanément que pour deux couleurs, le rouge et le violet par exemple, et pas pour deux autres quelconques, car le pouvoir dispersif de deux corps n'est nullement proportionnel aux longueurs d'onde, et se fait différemment chez les deux corps considérés.

On démontre aussi que l'achromatisme ne peut être réalisé pour trois rayons de coloration différente avec les verres d'optique ordinaires, que par l'emploi de trois lentilles. Toutefois grâce aux nouveaux verres créés par la maison Schott à Jéna, l'achromatisme pour trois couleurs a pu être obtenu à Taide de deux lentilles seulement. Dans les objectifs apochromatiques d'ABBE qui utilisent ces verres, la correction d'achromatisme est réalisée pour trois couleurs du spectre, et de plus l'aberration sphérique est corrigée par deux rayons de courbure différents.