ORIENTATION DES SECTIONS D'ÉGALE BIRÉFRINGENCE
200. Calcul de la biréfringence d'nne section quelconque. Cherchons maintenant à calculer la biréfringence rig — Wp qu'aura une section quelconque de l'ellipsoïde, dont la normale OD fait avec les axes principaux des angles dont les cosinus directeurs sont représentés par /, w, n. Soient également 6 et 6' les angles que cette normale fait avec les axes optiques.
L'équation de l'ellipsoïde inverse est comme l'on sait:
dans laquelle a, ft et c sont les trois vitesses principales de propagation des ondes. Suivant la direction OD se propageront deux ondes normales, dont les vitesses v et v' sont inversement proportionnelles aux axes iig et îi^ de la section elliptique perpendiculaire. D'après le théorème d'ApoLL'ôNius on doit avoir:
et
Dans ces équations, q désigne la longueur du diamètre conjugué aux deux autres [Uy et n^')^ et p la hauteur du parallélépipède construit sur les trois diamètres conjugués.
1 A. Michel-Lévy et A. Lacroix, Les minéraux des roches. Paris 1888. 61—64. F. Wallerant, Bull. soc. miner, d. Fr. 11. 1888, 81.
Calcul de la biréfringence d'une section quelconque 219
Des équations (1) et (2) nous obtenons d'abord:
(4) J^ = a'i'cV
Ces dernières équations représentent évidemment la somme et le produit des racines d'une équation bicarrée, de laquelle on pourrait déduire les valeurs de 7ig et n^] toutefois il est inutile de procéder à ce calcul pour obtenir la différence entre les vitesses de propagation des ondes, ou celle des indices correspondants, car on a:
(7.^'* 7^/*) - U/* + ^/*) 7^p'* rig'^
Pour former cette dernière équation, il faut calculer les valeurs de q et de p, La longueur d'un diamètre conjugué q est, comme on le sait, la distance de l'origine au point de contact (x, y^ x) du plan tangent parallèle à la section; p est la distance comprise entre celle-ci et le plan tangent.
L'équation de ce plan tangent perpendiculaire à la direction de propagation OD, qui fait avec les axes des angles À, jtt et v et dont /, m, n sont les cosinus directeurs, peut être mise sous la forme:
IX + mY+nZ^p
ou
a^Xx + ft« Fy + d'Zx = 1
dans lesquelles Xj F, Z sont les coordonnées courantes, et x, y, z celles
du point de contact. En identifiant ces deux équations, et en tenant
compte de ce que le point de coordonnées x, y, x est situé sur l'ellipsoïde
on aura:
a*p ' •^ b*p ' ""^ c*p et
puis
Si Ton substitue alors ces valeurs dans les équations (3) et (4), il vient après réduction:
Orientation des sections d*égale biréfringence
On peut transfonner avantagensement ces formules, en rapportant la position de la direction OD de propagation aux axes optiques. Ceux-ci font avec l'axe des Z^ c'est-à-dire avec Ug des angles donnés par:
cos* V =-^
et sin* F =
en posant
-y = ^*m et — = ng,
on a de plus, d'après la (fig. 255)
/ =r costf sinF+ sintf cosFcos-4 n = COS0 cosF — sintf sinFcos^
d'où
COS0 == ZsinF-J- wcosF
On trouverait de la même manière
cos^ = — ZsinF+ncosF
puis aussi
(cose — cos(?')«(a« — c*)
4(a* — fc*) (cos(? + cos(?')*(a* — c*)
En portant ces valeurs dans les équations (6) et (7), et en tenant compte du fait que w* = 1 — P — w*, on obtiendra successivement:
Up Ug
et
= a« + c* + (a* — c') COS0 cos6^'
c'(cose — COS0')* +
a«(cos0+cos0')*
(cosV>+cos'6^') +
cos^cos^.
En substituant dans (5), nous obtiendrons alors successivement:
(ïT^ "" ir^)*^ ^^' ■•" ^*^' ■•" ^^' "" ^'^ ^^^' ^ ^^^' <9' + 2 (a* — c*) cos e cos (9' 4a«c* — (a* — c*)* (cos«(9 + cos*tf') — 2 (a* — c*) cos0 cos<9'.
(Aï ^)'= (a»+c«)' + (a*- c«)« (cos'(9 cos«(?'— cos'(9— cos'ô') — 4a' c*.
Si l'on remarque que:
(1 — cos*(?) (1 — cos*0') = 1 — cos*0 — cos*(?'+ cos*<9 cos*(9'.
Surface d'égal retard des ondes de Berlin 221
il viendra:
It^ " ^ï= («*+0*+(a*-c*)*((l-cos«e)(l-cos^e')-l) -4a«c«
d'où on tire encore:
7j 7^ = (a* — c*) sind sin^'
et comme — = n^ et — = w^ on obtient finalement: a '^ c ^
formule qui donne la différence des carrés des vitesses — 7 et — 7
de propagation des deux ondes qui cheminent normalement à une direction OD faisant avec les axes optiques des angles d et d\
Comme les biréfrigences V - «p' des sections minces sont en général faibles, on peut poser alors avec une approximation suffisante:
(Ug' — Up) = (fig — rip] sinO sinô' .
Cette équation permet donc de calculer la biréfringence w/ — Wp' d'une section quelconque, dont la position est fixée par les angles 0 et ô' compris entre sa normale et les deux axes optiques.
201. Surface d'égal retard des ondes de Bertin.^ La formule qui précède va permettre d'obtenir la surface d'égal retard des ondes, c'est-à-dire celle joignant les points où les
ondes, supposées émanant d'une même origine, D
arrivent avec un retard constant. Les ondes qui se propagent normalement à une direction OD quelconque possèdent à une distance OA = Q de l'origine (fig. 256) un retard qui est ^^^ ^ égal à
R = Q(ng' ^np') = n^l Fig. 256.
pour une radiation de longueur d'onde A,
rig et rip étant, comme on le sait, les axes de la section elliptique
de l'ellipsoïde inverse normale à OD. Cette formule devient:
(1) R = Q (Ug — Wp) sin 6^ sinô'
expression qui représente l'équation en coordonnées polaires, de la surface cherchée, 0 et 0' étant les angles que fait q avec les axes optiques.
1 A. Bertin, Ann. d. chim. et phys. 63. 1861, 57—62. F. Nedmann, Pogg. Ann. 33. 1834, 267—281.
222 Orientation des sections d^égale biréfringence
On peut mettre cette équation en coordonnées reelangulaires ; pour cela, remarquons que:
on aura alors:
ou
En remplaçant ng* + np* et n^^n^^ par leurs valeurs déduites des équations (6) et (7) (a. 200, p. 219), il vient:
= 4(x« + 2/« + X') (x«7ïp« + y^n^* + ^«n^*) .
On pourrait à l'aide de cette équation ou de celle en coordonnées polaires qui précède, effectuer la discussion de la forme de la surface; mais on peut s'en faire une idée suffisante au moyen d'une construction graphique.
L'équation (1) peut en effet s'écrire:
^ (rig — ripl sin d sin ô' ou encore
Q = K cosecô cosecô'
dans laquelle K est une constante:
ng-rip
On obtiendra la longueur de q pour n'importe quelle valeur de d et ff en procédant comme suit.
Traçons d'abord un cercle de rayon K = OA (fig. 257) et portons une droite OM faisant avec OX un angle 6. En menant BM perpendiculaire sur OT^ le segment de droite OM représente -ST cosecS. Traçons maintenant un cercle de rayon 0M\ la perpendiculaire menée à OF.en B\ intercepte sur une droite faisant avec OX un angle ff
im segment:
OM' = OMcosecO'
qui re présente la valeur du vecteur q de la surface d'égal retard des ondes.
On pourra de la sorte aisément rechercher l'intersection de la surface avec les trois plans coordonnés, et avoir ainsi une idée de
Suitace d'égal retard des ondes de Berlin
sa forme. Cette surface, pour les cristaux biaxes, est formée de deux tubes qui s'entre-croisent, et ont comme axes, les axes optiques (fig.258}.
Ses intersections avec les trois plans principaux obtenues par 1 procédé graphique indiqué, sont données par la fig. 259.
224 OneoUtkm des sections d'égale hix^tmgence
Pour les cristaux oniaxes, l'équation se réduit à:
B ^ (Ug — n^. sin*&
Elle représente une surface de réToIution autour de Taxe optique, ayant une certaine analogie arec un hyperbololde de révolution à une nappe.
202. Seetitms d'égale ¥iréfriMgeiee.^ Ces sections ont leurs pôles à rintersection d'une sphère de rayon égal à l'unité avec la surface d'égal retard des ondes. En effet, si dans l'équation
R =. q[ng — n^ sin© sinO',
nous faisons ^ = 1, nous imposons au rayon Tecteur q la condition d'avoir une longueur constante, et les points de la surface d'égal retard seront situés sur la courbe d'intersection.
Comme R^=ng — np% qui par définition est constant, nous aurons ainsi le lieu des pôles des sections d'égale biréfringence.
Nous obtiendrons ainsi sur la sphère une série de courbes homothétiques, définies par l'équation:
(1) Tig — Wp' = [rig — fip) sind smd\
203. Utilisatioi de la projection stéréograpUqne. 11 est possible de se faire une idée de la forme de ces courbes, à l'aide de la projection stéréographique. En effet, la biréfringence iig' — n^ d'une section quelconque représentée par son pôle, sera toujours une certaine fraction de la biréfringence maxima, et pourra être exprimée à l'aide de celle-ci par l'équation:
(2) 7^/ - np' = K[ng - n^)
dans laquelle K représente un nombre inférieur à l'unité. En introduisant ce résultat dans l'équation (1) il vient:
(3) ir= sin(9 sin^.
Cette dernière équation nous conduit à un théorème remarquable exprimé comme suit:
Le produit des sinus des angles 0 et 0' compris entre le pôle d'une section et les axes optiques, est égal à la fraction de la biréfringence maxima correspondant à la biréfringence de la section considérée.
On pourra de la sorte obtenir sur la projection stéréographique les courbes joignant les pôles possédant la même fraction de la bi-
1 Les courbes d'égale biréfringence ont été utilisées en projection pour la première fois par M. Michel-Lévy dans ses cÉtudes sur la détermination des Feldspaths>. !• fascicule. Paris 1894.
RepréMDtadoa des aectioDS d'égale biréfriagence 225
réfringence maxima. Pour cela, on donne à K une certaine valeur, 0,1, 0,2 etc., puis on calcule 8' pour les diverses valeurs qu'il est possible d'attribuer à 6. Comme la valeur maximum que peut prendre sini9' est l'unité, sind ne pourra être en aucun cas inférieur à K, et oscillera entre tes limites suivantes:
6 >■ arc sin K e < arc 90°.
En traçant autour des axes optiques (Eg. 260) des cercles d'ouverture S et 6', on obtiendra à leurs intersections des points de la courbe cherchée. Nous aurons de la sorte, en général quatre points; deux a et a' pour le cercle d'ouverture 6 tracé autour de A, et deux autres b et b' si on trace un cercle de même ouverture autour de B. Ces quatre points sont symétriquement disposés relativement au pôle de la bissectrice de l'angle aigu 2 V des axes optiques. Dans quelques cas cependant, on obtiendrait deux points seulement, ceci lorsque les cercles 6 et 0' deviennent tangents intérieurement ou extérieurement; le point de tangence est alors situé sur Fig. 260.
le plan des axes optiques.
Les cercles seront tangents extérieurement si la condition ^<C sin* V est réalisée et si 0 < V; le point de la courbe est alors situé dans l'angle aigu des axes optiques. Les cercles sont tangents intérieurement si on a:
.ff<sin*(90°-F) et si
ff<90 — r le point de tangence est également contenu dans le plan des axes optiques, mais tombe dans l'angle obtus formé par ces derniers.
Lorsque iC<;sin'F, pour certaines valeurs de & nous pourrons toujours avoir un des points de la courbe dans l'angle aigu ou dans l'angle obtus des axes optiques; pour d'autres valeurs, nous aurons toujours deux points situés symétriquement de part et d'autre de la trace du plan des axes optiques. La courbe sera fermée et formera une boucle allongée autour du pôle de chacun des axes optiques* (fig. 261 et 262, courbe A' = 0,2).
' Les lîg. 261 et 262 montrent en projection stéréographique la forme de ces courbes d'égale biréfringence construite pour 2F— 78°28', les valeurs 0,2, 0,4 etc. sont les fractioas de la biréfringence maximum relatives à chacune d'elles. Le plan de projection de la fig. 261 est normal à la bissectrice aiguë, il est parallèle au plan des axes optiques pour la fig. 262.
DapMC » rtàzet L 15
Représentation des sections d'égale biréfringence
Lorsque
K = sin* F,
on a encore deux boucles autour de chacun des axes optiques, mais celles-ci se rencontrent sur le pôle de la bissectrice aiguë et réalisent la forme que montre la courbe 0,4 (fig. 261 et 262).
Si maintenant K est compris entre sin*F et cos*F, les cercles qui satisfont à la condition:
ne pourront plus être tangents qu'intérieurement pour une certaine valeur de 0\ pour toutes les autres, nous obtiendrons toujours pour chaque axe optique deux points situés de part et d'autre de la trace du plan des axes optiques. La courbe présentera la forme de celle
Fig. 261.
Fig. 262.
0,5 (fig. 261 et 262), et nous aurons une boucle unique entourant les pôles des deux axes optiques.
Lorsque K = cos*F, les cercles 0 et 6' peuvent être encore tangents intérieurement sur le pôle de la bissectrice obtuse, qui sera de la sorte un point de la courbe. L'équation devient:
cos*F= sinO sinO'
elle est satisfaite par ô = 90° — F, et ô' = 90« + F ou 90° — F. La courbe se composera d'une boucle entourant les pôles des axes optiques, avec un point multiple sur celui de la bissectrice obtuse où elle rencontre une courbe semblable entourant les pôles opposés des axes optiques. La courbe a la forme de celle 0,6 des fig. 261 et 262.
Enfin si K'^ cos' F, les cercles 0 et 0' ne pourront en aucun cas être tangents; l'on obtient alors une courbe fermée, symétrique
Représentation des sections d'égale biréfringence 227
autour du pôle de n^^ et de la trace des plans d'élasticité Ug^ n^ et n,n, np, (courbes 0,7, 0,8, 0,9 des fig. 261 et 262).
Si nous comparons entre elles ces différentes courbes, il est aisé de constater que celle passant par la bissectrice obtuse présente une longueur supérieure à toutes les autres, et que par conséquent ce sont les sections dont la biréfringence est égale à celle de la bissectrice obtuse qui seront nécessairement les plus fréquentes. Il est d'ailleurs facile de calculer la valeur de la biréfringence qui correspond à cette courbe.
Les formules {a. 84 p. 79) donnent pour l'angle F que fait l'un des axes optiques avec la bissectrice aiguë:
Hg-
tangF dans le cas d'un cristal positif, et
tangF=
dans le cas d'un cristal négatif; on peut donc déduire de ces formules les valeurs de tig — n^^ ou n^ — np, qui, suivant le signe optique du cristal, représenteront la biréfringence qui correspond à la courbe en question.
Si l'angle des axes optiques était de 90°, F =45°, nous aurions dans ces conditions rig ^71^^=^ n^ — n^ .
Les biréfringences des sections normales à rig ou 7ip seraient donc identiques; en outre de cette égalité, on tire encore:
ng + ^p — 2np = 2(n^ — n^) d'où:
qui montre que la biréfringence d'une lame normale à l'une des bissectrices est égale à la moitié de la biréfringence maximum. C'est cette valeur que nous désignerons dans la suite sous le nom de 6?réfringence moyenne.
Si 2F<; 90, la section normale à la bissectrice aiguë d'un cristal positif ou négatif aura une biréfringence inférieure à celle de la section perpendiculaire à la bissectrice obtuse, et par conséquent à la biréfringence moyenne. Nous aurons en effet pour un cristal positif:
228 Représentation des sections d'égale biréfringence
et
tandis que
w^ — Wp
ng'-'^m> % ^
Si au contraire le cristal est négatif, nous aurons;
et
w^ — Wp
llg — 7Zp
La section normale à la bissectrice obtuse aura de même une biréfringence qui, dans tous les cas, sera supérieure à la biréfringence moyenne, et qui se rapprochera d'autant plus de celle maximum que l'angle 2V est plus petit.
Il est possible de construire une abaque qui, pour une valeur donnée de -BT, permet de trouver toutes celles de 0 et 6' qui satisfont
à la condition:
K= sinô sin©'.
En effet, si sur deux axes de coordonnées (fig. 263) nous reportons des valeurs proportionnelles à sin6^ et sinô', le lieu représenté par l'équation est une hyperbole équilatère, dont les branches ont pour ordonnées ou abcisses des valeurs comprises entre
sinô^À" ou sin6^' = iT et
smO = 1 ou sin©' = 1.
En effet, lorsque par exemple ô'=90°, on a -£"= sinô. L'abcisse ou l'ordonnée de la courbe pour 0 om 0' = 90° mesurent la fraction de biréfringence. En outre, les hyperboles étant équilatères auront leurs sommets sur une droite faisant un angle de 45° avec les axes de coordonnées et la distance a du sommet à l'origine est donnée par la relation:
a = vtk:
VK est la fraction de la longueur de la diagonale du carré construit sur les axes interceptés par la courbe (fig. 263). Lorsque K augmente, le segment intercepté sur la diagonale croît également et la courbe se réduit à un point si ^=1; une seule section de biréfringence maximum est donc possible.
Représentation des sections d'égale biréfringence
Toutes les valeurs de d et 6' qui satisfont à l'équation: K=s iinO sinO', et qui sont situées sur un arc d'tiyperbole, ne fournissent pas toujours
PM
•gjgi
, ■■ ■ -;-■— [HJptT
Fig. 263.
des points de la courbe d'égale biréfringence, car il faut que les cercles d'orientation 9 et 0' tracés autour des pôles des axes optiques, puissent se couper, ce qui n'est évidemment possible que pour des valeurs comprises entre celles oii les cercles peuvent être tangents extérieurement ou intérieurement.
