Âxe de zone occupant une position quelconque. Ce cas se

subdivise lui-même en trois autres:

a) La projection de Varc AB qui mesiire V angle aigu des axes op^ tiques, est contenu dans V intérieur du cercle de base. Soit PP' la trace d'un plan quelconque de la zone qui nous servira d'origine, et que nous ferons coïncider par exemple avec celui bisséquant l'angle AZB = 2(p (fig. 288). Les plans passant par l'axe de zone et contenant chacun des deux axes optiques feront de part et d'autre de l'origine des angles q). Les axes optiques eux-mêmes font avec l'arête de zone des angles 0 et 0\

Menons deux plans NAN' et NBN' par chacun des axes optiques et la normale NN' à une section quelconque, faisant avec l'origine un angle a. Ceux-ci feront avec l'axe de zone des angles ^ = ZL et ^' = ZR donnés par les relations:

tang/î = tango cos(r/) + a) tang/^'s= tango' cos(a — (jp).

L'angle d'extinction b = ZE sera, en vertu du théorème de Fresnel:

e = T = ^[arc tang(tangÔ cos(f/) + a)) + arc tang(tang6>' cos(a— y)].

En faisant tourner la section autour de l'axe de zone et en comptant les rotations positivement dans le sens des aiguilles d'une montre, nous voyons le plan passant par l'axe optique B se relever d'une manière continue, devenir perpendiculaire au plan de projection lorsque a — (f = 90°, s'incliner ensuite de l'autre côté de l'axe de zone

TV

lorsque a — (f devient supérieur à -^, tang/:?' change alors de signe et

augmente en valeur absolue. En même temps, pour le plan passant par l'axe optique A, idLUgfi est encore positif et décroissant. 11 est dès lors évident que nous pourrons toujours trouver une position pour laquelle nous aurons tang/:^ = tang/î'. Les deux plans NAN' et NBN' sont également inclinés de part et d'autre de Taxe de zone qui coïncidera alors avec la trace d'un des plans bissecteurs. Remarquons encore que lorsque la normale NN' tombe dans l'angle 2r/), l'angle a est

252 Propriétés des courbes d'extinction

TC . 7t

alors compris entre -^ — ^p et -^ + (p. Si a augmente encore, Tangle

§' devient supérieur en valeur absolue à /?, mais est de signe contraire ; l'angle d'extinction n'est plus nul et change de signe en passant par zéro. De plus pour deux pôles diamétralement opposés, les extinctions possèdent les mêmes valeurs, mais de signes contraires, car le même vecteur représenter^, selon la position de l'observateur, une extinction + e ou — €, Il s'ensuit alors qu'en partant d'un pôle quelconque pour construire la courbe d'extinction, le vecteur figuratif reprend sa position initiale pour un déplacement de 180° du pôle sur la zone. Cette propriété existant quelle que soit la position de la face d'origine, entraîne comme conséquence que la courbe est fermée; en outre, elle passe toujours par le centre de la projection, puisque comme nous venons de le voir, il y a toujours une section dans la zone sur laquelle la direction d'extinction qui est de même signe que la bissectrice aiguë, jBst parallèle à l'axe de zone.

L'extinction passe aussi par un maximum, qui peut se déduire de l'équation précédemment indiquée; la dérivée:

de 1 r tanggsin(r/? + a) tang6>'sin{a — (jp) ]

dâ~ "'2 L (1 + tang*^; cos*(r/) + ^ "^ (1 + tang*0'cos*(a — ^J

s'annule pour une certaine valeur de a comprise entre tt — qp et tt + <jp

qui rend la fonction s = ^ maximum. La trace de la section

qui présente cette valeur maximum de l'angle d'extinction, se trouve dans l'angle 2f/); ce maximum est inférieur à 90°, car les deux arcs

'fi et fi' ne peuvent avoir simultanément une valeur égale à -^ •

La fig. 289 construite avec 2F=60", montre la variation de l'angle d'extinction; il est important de remarquer que la courbe fermée (trait plein) obtenue, représente le lieu des pôles de la ligne d'extinction de même signe que la bissectrice de l'angle aigu des axes optiques, pour toutes les sections de la zone.

Cette courbe possède encore quelques propriétés intéressantes que nous allons mettre en évidence. Suivons pour cela la section SS' dans son mouvement autour de Z\ nous remarquons que l'angle d'extinction passe par trois valeurs indépendantes de 2 F, pour toute zone dont l'axe aura la même position relativement à 7ig, 7*^, ?îp, et ceci pour trois sections éloignées de la même distance angulaire sur la zone. La section tournant autour de Z, se placera successivement perpendiculairement aux trois plans d'élasticité, et contiendra alors l'une des quantités Ug^ n^, 7ip\ quelle que soit la valeur attribuée à 2F,

Propriétés des courbes d'extinction

inférieure toutefois à -„ , les lignes d'extinction coïncideront pour ces

positions avec la trace du plan principal et de l'axe d'élasticité qui lui est perpendiculaire. La courbe fermée passera donc toujours par le pôle de la bissectrice aiguë, elle coupera le plan des axes optiques ainsi que celui mené par l'axe n^ et la même bissectrice en deux points m et p, dont les positions sont indépendantes de l'angle 2F".

Si nous déplaçons l'axe de zone dans l'intérieur du trièdre «„, n„„ «p de façon à l'approcher infiniment de l'un des trois plans d'élasticité principaux, la courbe d'extinction évolue vers l'une des formes que l'on obtiendrait pour l'un ou l'autre de ce trois cas limites. En reportant maintenant sur un système de coordonnées rectangulaires, les valeurs indiquées par la projection pour toutes les faces delazonecomprises entre zéro et re, nous obtiendrons une courbe sinueuse, qui passera par un certain maximum, pour décroître ensuite jusqu'à zéro, changer de signe, et reprendre sa valeur initiale avec un signe contraire. En outre les deux branches de la courbe sont dissymétriques sur l'ordonnée maximum.

Quant à la courbe tracée par la deuxième ligne d'extinction de même signe que la bissectrice obtuse, elle suit sensiblement la projection du plan principal passant par n^ et cette bissectrice, elle la coupe en trois points. L'angle d'extinction est complémentaire pour chaque section de celui indiqué par la courbe fermée; il oscille entre une certaine valeur minimum et 90°; il passe d'ailleurs par cette dernière quantité en changeant de signe.

La fig. 290 montre les deux courbes construites sur les données de la projection (fig. 289). Le trait plein représente, dans ces deux figures, l'extinction afférente à la vibration de même signe que le cristal; le trait pointillé celle relative à la vibration de signe contraire.

„ «1. '.y "- f rr f 7 r r°?"i*y?","

'•" ^Jr- -^~~^ 1

^^^it

it ^n

lu s

,; lî^

Fig. 290.

254 Propriétés des courbes d'extinction

b) Vun des axes optiques est contenu dans le plan de projection. En prenant la même origine que précédemment, si B par exemple

est contenu dans le plan, l'angle d'extinction sera à chaque instant donné par la relation:

fi = ^- [arc tang(tang0 cos (</) + a) + arc 90°].

Si nous suivons le plan mobile dans sa rotation autour de Z, nous remarquons en premier lieu que l'angle d'extinction, pour la vibration du signe de la bissectrice aiguë, ne peut en aucun cas s'annuler, car le plan passant par l'axe optique oblique sur le plan de projection ne pourra jamais devenir parallèle à ce dernier, condition évidemment nécessaire pour que la trace d'un des plans bissecteurs du dièdre construit par la normale à la section et les axes optiques puisse devenir parallèle à l'axe de zone. La dérivée

de 1 / tang6> sin((jp -f- a) \

dâ "" "" "2" \ 1 + tang* 0 cos* (a + (p) J

nous montre que l'angle d'extinction est maximum si qp + a = 90°, c'està-dire si le plan mobile est perpendiculaire au plan contenant Taxe A ainsi que l'arête de zone. En outre la section dans son mouvement devient, à un certain moment, perpendiculaire sur l'axe B contenu dans le plan de projection. L'angle d'extinction est alors indéterminé, puisqu'on ne peut plus mener de plan par la normale et l'axe optique; il passe par une valeur limite sur les sections infiniment voisines qui font avec elle des angles -i- ip ou — ip. Le signe de l'extinction change brusquement et passe de + € à — f , car il est facile de voir que le dièdre qui contient la bissectrice aiguë s'ouvre tantôt d'un côté, tantôt de l'autre de l'arête de zone. Les axes de zone qui se trouveraient dans le cas que nous venons d'examiner, c'est-à-dire qui seraient placés perpendiculairement à l'un ou l'autre des axes optiques, auraient évidemment leurs extrémités sur deux grands cercles ayant les deux axes opticjues comme pôles.

c) L'ajx mesurant V angle aigu 2V coupe le cercle foiidumental. Comme nous avons ici 6><C90° et 0'>9O°, il s'ensuivra que X^ugO' sera toujours négative; nous aurons en général pour l'angle d'extinction l'expression :

6 = 2 [arc tang(tang6> cos((/) -{- a) — arc tang(tang6^' cos(cf — (p)].

Les signes des deux termes du second membre sont dépendants encore de la valeur donnée à a.

Les raisonnements développés précédemment peuvent encore s'appliquer ici; nous trouverons, si nous suivons le mouvement du plan tournant, que la ligne d'extinction du signe de la bissectrice aiguë se

Proptiétés des courbes d'exlinction. 235

comporte comme celle de signe contraire, dans le cas où l'arc 2 Test contenu dans l'intérieur du cercle de base. Elle tracera une courbe coupant le cercle fondamental, l'angle d'extinction variera entre une certaine valeur minimum et 90°, il passera par cette quantité en changeant de signe. La direction d'extinction fournie par le plan bissecteur du dièdre contenant la normale optique, tracera la courbe fermée passant au pôle du plan de projection et pourra par conséquent devenir parallèle à l'axe de zone; l'angle d'extinction rapporté à cet axe s'annulera, en changeant de signe.

224. Bésnmé général des résultats de la disensBion. Résumons maintenant ce qui précède, et pour cela construisons deux grands cercles ayant chacun des deux axes optiques comme pôle. Nous partagerons ainsi la surface de la sphère en quatre fuseaux se rencontrant sur M^, qui intercepteront sur le plan des axes optiques des arcs 2 K et jt — 2F (fig. 291). Nous pourrons alors tirer de ce qui précède les conclusions suivantes:

1" Si l'axe de zone a son pôle dans l'un des fuseaux d'ouverture it — 2 F, c'est-à-dire dans ceux qui contiennent la bissectrice aiguë, l'angle d'extinction de la vibration de même signe que le cristal varie d'une manière continue, passe par un certain maximum, puis par zéro en changeant de signe. Le vecteur représentant l'extinction de »,' ou «p' selon que le cristal est positif ou négatif, tracera toujours une courbe fennée passant par le centre de la projection, et possédera une valeur maximum. De plus, |>our un axe de zone dont la position est donnée par rapport à n^, m„ et Wp, la valeur de ce maximum est dépendante de 2 V et toujours inférieure à 90". En outre quelle que soit la valeur attribuée à l'angle des axes optiques, à condition que l'axe de zone garde la même situation par rapport à «^, «„, n^, les courbes fermées obtenues se couperont en quatre points, et les angles d'extinction des sections correspondantes seront les mêmes.

La direction d'extinction de même signe que la bissectrice obtuse trace une courbe coupant le cercle fondamental en deux points diamétralement opposés.

2" Si le pôle de l'axe de zone tombe dans l'un des fuseaux d'ouverture 2 F, contenant par conséquent la bissectrice obtuse, l'angle

Fig. 291.

Propriétés des courbes d'exti action

d'extinction pour la vibration de même signe que le cristal, varie entre un certain minimum et 90°. Il passe par cette dernière valeur en changeant de signe, et la courbe d'extinction coupe le cercle fondamental en deux points diamétralement opposés. La seconde direction d'extinction, nJ dans un cristal positif et Ug dans le cas contraire, tracera dans la projection la courbe fermée passant au centre et possédant les mêmes propriétés que celle obtenue dans le cas précédent.

3° Si l'axe de zone a son pôle sur un grand cercle normal à l'un des axes optiques, nous nous trouvons dans un cas limite tenant & la fois des deux précédents. L'angle d'extinction varie, et le changement de signe se fait lorsque la section mobile de la zone devient perpendiculaire à l'axe optique normal & l'arête de zone.

4" On voit enfin que l'angle d'extinction de la vibration de même signe que le cristal, passe, pour une zone quelconque, une fois par0''ou90''enchangeantde signe, mais par l'une ou l'autre de ces valeurs seulement, selon que le , pôle de l'axe de zone se trouve dans les fuseaux contenant la bissectrice aiguë ou obtuse.

225. Axe de zone situé dans 1« plan de n» «t la bissectrice aignS.

Comme le plan qui contient l'axe de zone est un plan de symétrie, les courbes d'extinction des directions de même signe ou de signe contraire k celui de la bissectrice aiguë seront nécessairement symétriques de part et d'autre de sa trace. En outre l'axe de zone étant contenu dans le même fuseau que la bissectrice aiguë, la ligne d'extinction rtg ou rip selon que le cristal est positif ou négatif, tracera la courbe fermée. L'angle d'extinction varie entre zéro pour une section passant par la bissectrice obtuse, à un

maximum égal à -„- — / pour celle passant par «^; ■/ représente l'angle

compris entre n,„ et l'arête de zone. La fig. 292 montre l'allure des courbes d'extinction des deux directions n,l et iip pour 2V^ 60° et un angle y = 20". Les traits pleins et pointillés ont la même signification que dans les figures précédentes.

L'angle d'extinction sera donné à chaque instant par la relation: e = ^(arc tang[langô 003(9) -t- a)] + are tang[tangfl' CQs{a — y)]]

Propriétés des conrbes d'extinction

qui se transformera dans

que l'on a en outre:

tanze, cosw= ,—-7,- smœ

-tangFsina

suivante, si on remarque que 0 = 0' et langF

tangfl cosé, '

sin£,cûsc(+tang7'siQa

arc tang

dans laquelle e, ^ -^ — / n'est pas autre chose que l'angle d'extinction sur le plan origine, et 2V l'angle des axes optiques.

L'angle d'extinction pourra donc se calculer pour une section quelconque en connaissant e,, a, et 2V, Quant à la deuxième direction d'extinction, elle trace une courbe qui rencontre le plan passant par n„

et la bissectrice obtuse, l'angle d'extinction varie alors entre /;=-„- — e, et 90O.

226. Axe de zone situé dans le plan de n„ et de la bissectrice ob-

tnsc. L'axe de zone tombe ici dans le fuseau contenant la bissectrice obtuse; les courbes d'extinction seront également symétriques de part et d'autre du plan qui le contient, mais c'est la direction d'extinction de signe contraire à celui du cristal qui tracera la courbe fermée. L'angle d'extinction variera entre zéro et e„ cette dernière valeur étant afférente à la section passant par n^ et la bissectrice obtuse. L'autre ligne d'extinction fait avec l'axe de zone des angles variant entre

, et:

-t, (fig.293, 2F=

Pour une section quelconque de cette zone, l'angle d'extinction est donné par la relation:

ir , ■■

= 2 arc tang

sine.cosa— cotgFsma , sme.cosa+cotgFsincl

' —2 + arc tang '- J—^- ■

cos£, cose, J

227. Ixe de zone situé dans le plan des axes optiques. 11 faut distinguer deux cas, selon que l'axe de zone tombe dans le fuseau contenant la bissectrice aiguë ou dans celui qui contient la bissectrice obtuse. Dans le premier cas, la direction de même signe que la bissectrice aiguë trace une courbe fermée, qui montre que l'extinction

Dnpui: ê P«iirc8 I. 17

Propriétés des combes d'exiiaction

varie entre zéro et un maximum égal à l'angle s, compris entre l'arête de zone et la bissectrice aiguë B^ (iig. 294). Cet angle t, est l'angle d'extinction sur le plan des axes optiques. L'angle d'extinction e sera donné par l'équation générale, dans laquelle (p = 0°. Celle-ci deviendra:

arc tang(tangd' cosa)] ,

e = |[arc tang(tang5 cosi dans laquelle e'=2V—e.

A l'exception du cas où «^0 la dérivée:

de^ 1 . I tangg' tangO

dâ "~ 2 " U+tang**''cos*a 1 -|- tang*(<eos'a ne peut s'annuler pour aucune valeur de a, en efTet en l'égalant & zéro, il viendra par un calcul simple:

C0S*ûr = cotg© cotgd' ou encore

cos*a = cotgtf cotg(2F— e).

Le second membre possède toujours une valeur supérieure ft l'unité; en effet, 2V étant inférieur à f), l'angle (2 F— S) est moindre que l'angle complémentaire de 0, ce qui est nécessaire pour que la condition ci-dessus indiquée soit réalisée.

Si l'axe de zone, tout en étant dans le fuseau contenant la bissectrice aiguë, tombe en dehors de l'angle aigu des axes optiques, l'angle d'extinction sera donné par la formule:

e = -J[arctang(tangS coso) + arc tang(tangé'' cosa)]. L'extinction pour la vibration de même signe que celui de la bissectrice aiguë sera représentée, pour toutes les sections de ta zone, par la courbe fermée passant au centre de la projection, et la valeur maximum, comme dans le cas précédent, sera atteinte lorsque a = 0°, car la dérivée

il = ^ =in„ / tangft ^ tangf?'

da

Fig. 294.

\l-(-tang'/>cos^« "'~ l-l-tang^Ô'cos't égalée è zéro, donnera

cos' a= — cotg 0 cotg (2 V—O).

cosa deviendra réel et en même temps inférieur à 1, si e est plus

Propriétés des conrbes d'extiDcUon.

grand que 90", c'est-à-dire si l'axe de zone tombe dans un des fuseaux contenant la bissectrice obtuse. Les deux courbes d'extinction seront comme dans le cas précédent, symétriques par rapport à la trace du plan des axes optiques; celle décrite par la direction de même signe que la bissectrice algue passera par zéro pour a = 90", et par un ' maximum unique lorsque a = 0°, c'est-à-dire lorsque la section est parallèle au plan des axes optiques.

Si l'axe de zone tombe dans le fuseau contenant la bissectrice obtuse, nous obtiendrons deux courbes également (&g.296), l'une fermée se rapportant à la direction d'extinction de signe contraire à celui du cristal, l'autre qui se rapporte à la vibration de même signe, représente un angle d'extinction qui varie entre un certain minimum et 90".

Ces courbes sont toutes deux symétriques relativement à la trace du plan des axes optiques, mais la courbe fermée n'atteint son maximum que pour une section faisant avec le plan des axes optiques un angle a compris entre zéro et 90°.

L'angle d'extinction sur une section quelconque donné par: •

£ = |[arc tang[tang0 cos*a) — arc tang[tangd' cos'k)) . d et 0' sont les angles compris entre l'axe de zone et les deux axes optiques ayant leurs pôles dans l'intérieur du cercle fondamental.

de La dérivée - - égalée à zéro donne:

cos*« = cotgô cotg(2r'— Ô).

2 F' désignant l'angle des axes optiques autour de la bissectrice obtuse, cos'c est réel et inférieur à l'unité, car 2V' — 0 est supérieur à l'angle complémentaire de 0.

Cette équation nous fournit donc une certaine valeur de a qui rend e maximum et peut se calculer de cette égalité.

Fig. 295.

zone est

encore pour une valeur déterminée de a comprise entre zéro et 90".

Si nous reportons la valeur des angles d'extinction afTérents &

chaque face de la zone sur un système d'axes rectangulaires, nous

BxttnctionB dans les différents aystèmes cristallins

obtiendrons la courbe d'extinction de la zone; elle possède deux tangentes horizontales, l'une pour l'abcisse a = 0 qui correspond à un minimum de £, et l'autre pour l'abcisse

a = arc cosVcotgS cotg(2 V — d] qui correspond à un maximum.