CHAPITRE I

de o à — co et coséca^ croît de + ï à + oo . Ainsi l'on a

tang ir ^ o, cot lim (it — s) =; — oo ,

.&.=-,, ™éolio(,-.)= + °»-

Si X croît de -h 71 à -1 , tangue et cot:i: redeviennent

positives, mais les quatre autres lignes sont négatives ; sinx décroît de o à ■— i ; taiigjc croit de o à + co ; sécj:; décroît de — I à — 00 ; C03:k croit de — i ào;cotx décroit de H-co ào, et cosée x croît de — oo à — i . Ainsi l'on a

cot lim (ir + s) = H- X , cosec îlm (ir 4- = — «^ '

Si a: croît de — à a tt, cos x et sec x deviennent positives,

mais les quatre autres lignes sont négatives ; sin x croît de — i à o ; tang x croit de — oo à O ; sec x décroit de -h oo à + i ; cos^r croît de o à -i- i ; cot^c décroît de o à — co , et eoséca: décroit de — i à — =o . Ainsi l'on a

tiing lim I (- e] :=:; — co , séc lim ( ■ — ^ + eI — + oo ,

tang :t^ n^ o, cot lim (aîr — s) r— ^ co ,

Si l'on fait croître x de a tt à 4 ^> ou de 4 ^ f" ^ î^j ou .

8 TBAITÉ BE TnitONOMÉTBÏE,

les six lignes trigonom^ triques reprennent piïriodiquement les mômes valeurs et dans le môme ordi-c.

Si X décroît de o à — co , cos x et sec x prennent les mêmes valeurs que quand x croît de o à ^- oo ; les quatre autres lignes trigonométrîques prennent aussi les mêmes valeurs absolues que quand x croît de o à + oo , mais les signes sont changés. On vérifie immédiatement ce fait en remarquant que les extrémités de deux ares x et — x égaux et de signes contraires sont situées du même côté as y/ et à des distances égales de ,rjf'. Ainsi l'on a, quel que soit x,

tang (— a:) ^ — tanga:, eut ( — ,r) :■.= — cota:,

Et, puisque les lignes trigonométrîques redeviennent les mêmes quand on ajoute à l'arc un nombre quelconque de circonférences, on aura, quel que soit x, et en désignant par A* un entier positif ou négatif quelconque,

tang (a^ir + x) ^îaiig.r, cot (2/ je -i- a:) :^coî.r,

7. Soit X un arc quelconque positif o^i négatif. Les deux arcs X &X x-\-T. sont évidemment terminés aux extrémités d'un même diamètre; par conséquent leurs sinus, leurs cosinus, leurs sécantes et leurs cosécantes sont égaux et de signes contraires, tandis que leurs tangentes et leurs cotangentes sont égales et de même signe. On a donc

taiig(7r + 37) — tang a:, cot(5i -(- jc) = cota:.

Les fonctions tang x et cot x ne changeant pas quand x augmente de TT, on dit que ces fonctions sont périodiques; tt est l'amplitude de la période ou simplement la période. Les quatre autres lignes trigonométrîques sont égalementdes fonctions périodiques de x, mais leur période est 27r; on a vu ef-

fectivemcnt que les lignes trigonométriques ne changent pas fjuand X augmente d'un multiple de la circonférence. Les équations précédentes montrent que sinx, cosx, séc:c et coséc^r ne font que cliangcr de signe, quand x augmente de la demi-période i:.

Si, dans les équations précédentes, on change .x en — x^ il vient, en ayant égard aus formules du numéro précédent,

tang(î; — .x) = — taiigj:^, cot (k ■ — ■^} ^ — cot.r,

séc (ji ■ — x)=^^ sécœ, coséc (ji — x) '.rr. coséca;;

d'où il suit que, si deux arcs sont supplémentaires, leurs sinus et leurs cosécantes sont égaux et de même signe, tandis que leurs cosinus, leurs tangentes, leurs cotangentes et leurs sécantes sont égaux et de signes contraires.

Des deux groupes précédents d'équations on déduit immédiatement, en désignant par k un entier positif ou négatif, sin[(s* + ,)-±»] =+si", C0S[(2* + .).±..]=-C0SX,

tang (A-Kih^) ^rhiangx, cot (/■Bd::3:)=^=tcota:,

8. De la discussion du n" 6 il résulte que le sinus et le cosinus restent compris entre les limites - — ■ i et H- i ; la sécante et la cosécante prennent toutes les valeurs entre -h i et + «> , et entre — i et — oo ; enfin la tangente et la cotangente prennent toutes les valeurs comprises entre — oo et -f- » .

U est très-important de remarquer que chacune des lignes trigonométriques d'un arc x prend toutes les valeurs qu'elle est susceptible d'acquérir dans la variation indéfinie de x, lorsqu'on ne fait varier x que dans un intervalle de deux quadrants. Ainsi, quand x varie de à -f- -> le sinus, la tangente, la cotangente et la cosécante prennent toutes les valeurs dont ces lignes trigonométriques sont susceptibles; et si x varie de o à tt, le cosinus, la tangente, la cotangente et la sécante prennent aussi toutes les valeurs dont elles sont susceptibles. Enfin, si l'on n'a égard qu'aux valeurs absolues, les six

lO TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

lignes trigonométriqucs preimeiit toutes leurs valeurs quand

l'arc varie de o à -; ou de - à tc, ou , . . .

On a souvent besoin, étant donné un arc x, de trouver l'arc

compris entre o et -) qui, abstraction faite des signes, a les

mêmes lignes trigononiétriques que a?. Il suffit pour cela de retranclier de œ le plus grand multiple positif ou négatif de la demi-circonférence qu'il peut contenir, de manière que le reste positif ou négatif d:« soit en valeur absolue moindre

que - ; l'arc x aura, en faisant abstraction des signes, les mêmes

lignes trigoisoniélriques que x.

Des arcs qui correspondent à une ligne trigonométrique donnée.

9. H résulte des développements qui précèdent qu'à chaque valeur de l'arc entre — ao et -h » correspond une valeur unique bien déterminée pour chacune de ses lignes trigonométriqucs, taudis qu'à une même valeur donnée del uns des lignes trigonométriqucs correspondent une infinité de valeurs de l'arc. Il est très -important de savoir déterminer tous les arcs qui répondent à une ligne trigonométrique donnée, lorsque l'on connaît l'un de ces arcs ; nous allons donner la solution de cette question. Soient, comme précédemment, A l'origine des arcs '■,y'y la ligne sur laquelle se portent les sinus et les cosécantes ; o(/ x celle sur laquelle se portent les cosinus et les sécantes; Jz et u'u les lignes sur lesquelles se portent respectivement les tangentes et les cotangentes.

SiHus ET cosécAhtes. — Soit ^- OQ ou — OQ' un sinus donné [fig- 4); menons par le point Q ou Q* une parallèle àOA; celte parallèle coupera la circonférence en deux points M et iVI' ou M" et M'", et il est évident que tout arc qui répond au sinus donné aura l'un de ces deux points pour extréuiité ; désignons par a l'un quelconque de ces arcs ; je dis que les arcs a et TT — a. auront respectivement pour extrémités M et M'

CHAPITBE rBEHIËli.

OU M" et M'"; en effet, suppôt son extréinJté en M : pour décri

ns, par exemple, que a ait 5 l'arc TT — - a, ou ira d'abord

"•Xî?^-

de A eu A', en suivant le chejiiin ABA'; il restera à décrire l'arc — a, ee qui ramènera en M', puisqu'en décrivant -(- a à partir de A on s'arrête en M. Cela posé, tout are x quï répond au sinus donné a la même exlrémîté que l'un des arcs a et 7t — a; on a donc (n" 3), en désignant par k un entier positif, nul ou négatif,

x^l/iTc-:- a, ou x^l/i-n ~tc — a=:[Q.k -\-ï)-!: — a.

Soit, en second lieu, + OH ou — OIF une cosécante donnée -, si par le point H ou H' on mène deux tangentes à la circonférence, les points de contact M et M' ou M" et M'" seront les extrémités des ares qui répondent à la cosécante donnée. Si donc on désigne par :k et « deux quelconques de ces arcs, on aura comme précédemment

Cosinus ET sécahtes. — Soit 4- OP ou — OP' un cosinus donué; menons parle point Pou P' une perpendiculaire àOA; cette perpendiculaire coupera la circonférence eu deux points M et M'" ou M' et M", et il est évident que tout arc qui répond au cosinus donné aura l'un de ces deux points pour extrémité; désignons par a. l'un quelconque de ces ares. Les arcs a et — a auront leurs extrémités en Met M'" ou eu M' et M"; donc tout are x qui répond au cosinus donné a la même ex-

i". TRAITÉ LE TRIGONOMÉTRIE,

tjémitc que l'un des arcs a et — a ; on a, par suite,

k étant un entier positif, nul ou négatif.

Soit, en second lieu, -+- OK ou — OK' une sécante donnée; si, par le point K ou K', on mène deux tangentes à la circonférence, les points de contact M et M'" ou M' et M" seront les extrémités des arcs qui répondent à la sécante donnée. Si donc on désigne par x et x deux quelconques de ces arcs, on aura, comme précédemment,

Tamceimtes et cotamgemtës. — Soit une tangente donnée -I- AT ou —AT' ou une cotangente donnée -H BS ou — BS'; menons une droite par le centre du cercle et par l'esti'émité de la tangente ou de la cotangente donnée; cette droite coupera la circonférence en deux points M et M" ou M' et M'", et il est évident que tout arc qui répond à la tangente donnée ou à la cotangente donnée aura l'un de ces deux points pour extrémité; désignons par a l'un quelconque de ces arcs. Les arcs a etjy-t-ci auront éyidemment leurs extrémités en M et M" ou en M' et M'" ; donc tout arc x qui répond à la tangente donnée ou à la cotangente donnée a la même extrémité que r«n des arcs a et jc + k, et l'on a, par conséquent,

ou simplement

h désignant un entier positif, nui ou uégatif.

Ce qui précède conduit aux conséquences suivantes r

Pour (jue deux arcs aient le même sinus ou la même cosécante, il faut et. il suffîl, ou que leur somme soit égale à un nombre impair de demi-cir conférences , ou que leur différence soit égale à un nombre pair de demi-circonférences.

Pour que deux arcs aient le même cosinus ou la même sécante, il faut et il suffit que leur somme ou leur différence soit égale à un nombre entier de circonférences.

Pour que deux arcs aient la même tangente ou la même

CIliPITBE PBEMlEIl. l3

cotangente, il faut et il suffit tjue la différence de ces arcs soit égale à un nombre entier de deini-circonférenccs. 10. Quand on pose

on a coutume d'écrire aussi

a: -= arc sm7, ou a^ = arc tangj, ou a; = arc sécj, ou . , . , c'est-à-dire x ^ l'arc dont le sinus estj^ x = l'arc dont la tangente estj, ... ; mais, d'après ce qui précède, on voit que ces expressions arc sinjf, ... ne sont pas entièrement déterminées, car elles admettent une infinité de valeurs pour chaque valeur de^. Les quatre expressions arc sinj, arc tangj)-", arc cotjf, arccosécjï' deviendront complètement déterminées si l'on spécifie que leurs valeurs restent constamment comprises

entre ^ et -|- -; pareillement les expressions arccosj-

et arc &écj seront déterminées si l'on spécifie que leurs valeurs restent constamment comprises entre o et 7t. Avec cette restriction, les six expressions

arc sio^, arc langj, arc sécy, ai'c cosj, arc cot i-, arc cosccj peuvent être considérées comme des fonctions de 7; elles sont employées à ce point de vue dans les parties élevées des Mathématiques, et on leur a donné le nom àe Jonctions circulaires inverses. Par opposition, les lignes trigonom étriqués sont souvent désignées sous le nom de fonctions circulaires directes.

Relalions entre les lignes trigonométriijues d'un même oj-c.

a . Il existe entre les six lignes trigonomé triques d'un même arc cinq relations distinctes que nous allons établir.

Soit X [fig- 5) un arc positif ou négatif dont l'eKlrémiÈé M

est située dans le premier quadrant AB, on a

OM = i,

sin.î: = MP , tanga: = AT, sûc.r — OK,

cosa:=01', cota: = BS, coséc.c = OH.

Cela

TilAITfi DE TEIGONOalÉrRIE.

liigle OMP cloniie

Mp' + 0P'= OM"; les triaiiglos rectangles MOK et MOH donnent a OK.OP=:Ôm', OH.OQ = Ôifl';

Fig. 5.

enfin les triangles semblables TOA et MOP, BOS et MOQ donnent