CHAPITRE PREMIER

ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS CIRCULAmES.

Définition du motfon i . Lorsque deux grandeurs variables sont telles , qu'à

chaque valeur de l'une correspond une valeur déte de l'autre, on dit que ces grandeurs sont fonctions l'uiie de l'autre, Par exemple, dans un cercle, la circonférence et la surface sont fonctions du rayon; et, réciproquement, le rayon est fonction de la circonférence ou de la surface.

La Trigonométrie est fondée sur la théorie de certaines fonctions qui naissent de la considération du cercle, et que l'on nomme, pour cette raison, fonctions circulaires.. Nous comniencerons par exposer les éléments de cette théorie.

Sur la mesure des longueurs.

2. Soit {fig. i) un point fixe d'une ligne séx droite ou courbe, et supposons qu'à partir de ce point O on prenne

sur x' X diverses longueurs OA, OA', OA", . . . ; ces longueurs, étant rapportées à une m6me unité, seront représentées par des nombres, et nous donnerons à ces nombres le signe -I- ou le signe — , suivant que les longueurs dont ils expriment la

Trifi. s. i

2 TRAITÉ DE TRlGONOaérRIE.

mesure seront portées dans un sens ou dans l'autre. En d'autres termes, les longueurs portées dans un sens (celui qu'on voudra) seront des quantités positives, les autres seront des quantités négatives.

Si, par exemple, on convient que le sens des longueurs positives soit celui de Ox indiqué par la flèche, et que les points A, A', A" soient respectivement situés à 7, 9, 6 mètres du point 0, si en outre on prend le mètre pour unité linéaire, les longueurs OA, OA', OA" seront respectivement représentées par H- 7, -j- 9, — 6. Supposons que a soit la quantité positive ou négative qui représente ainsi une longueur ci sur si/x à partir du point O; le nombre d'unités renfer dans cette longueur sera -\- a ou —a, suivant que a sera positive ou négative.

D'après cela, si l'on imagine un point mobile partant de O, et se mouvant tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, les diverses parties de ocf x décrites par le point mobile seront regardées comme positives ou comme négatives, suivant qu'elles auront été décrites par un mouvement dans le sens Ox, ou dans le sens opposé O^'; et si l'on désigne par a, b,c,d, ... les quantités positives ou négatives qui mesurent les longueurs décrites successivement par le mobile, par x la quantité qtii représente la distance du point O au point où le mobile s'est arrêté, on aura, dans tous les cas,

Des aj-cs de cercle.

3. Dans l'étude que nous entreprenons des fonctions qui naissent de la considération du cercle, le rayon sera toujours pris pour unité.

Soit O (Jig- 2 ) un cercle dont nous représenterons la circonférence par 2 TT, et le quadrant (quart de circonférence) par —

Soient A un point fixe de la circonférence, M un point mobile partant de A et se mouvant dans le sens de AB (indiqué par la flèche) que nous adopterons pour les arcs positifs;

CHAPiTBE PREBIIER. ■3

l'arc AM est nul à l'origîue du mouvement ; il augmente ensuite, et sa valeur est h t. quand le point mobile est revenu au point de départ. Mais on peut imaginer que le mouvement se

continue indéfiniment, en sorte que le point mobile peut décrire un arc composé d'une on de plusieurs circonférences. Si le mouvement du point M a lieu dans le sens contraire à celui que nous avons supposé, l'arc décrit est négatif, mais sa valeur absolue prend tous les états de grandeur à partir de zéro. Ainsi l'arc de cercle est une quantité susceptible de prendre toutes les valeurs entre — ■ co et 4- oo .

L'extrémité fixe A de l'arc variable AM sera dite l'origine de l'arc.

Si a désigne l'un des arcs qui ont une même extrémité M, tous les arcs x qui ont cette extrémité seront donnés par la formule

où k représente un entier indéterminé positif, nul ou négatif; car deux arcs qui ont même origine et nième extrémité ne peuvent évidemment différer que par un multiple de la circonférence.

4. Arcs complémentAiubs et Arcs sxjpplémehtaires. — Deux arcs positifs tous deux, ou l'un positif et l'autre négatif, sont dits complémentaires ou compléments l'un de l'autre, lorsque leur somme est égale à un quadrant, c'est-à-dire

Deux arcs sont dits supplémentaires ou suppléments l'un de l'autre, lorsque leur somme est égale à une dcmi-cii'conférence, c'est-à-dire égale à is.

TRAITÉ DE TRIGOKOMÈTRIE.

Définition des lignes Vigononiéiri^ues.

5. Menons [fig- 3) par le centre du cercle O deux droites rectangulaires Ox et Oy, qui coupent la circonférence, la première au point A et la seconde au point B; menoiia ensuite, par les points A et B, les droites As et Dm, respectivement

Fie

fis

parallèles à Oy et 0^7, et dirigées daas le même sens que celles-ci ; on sait, par un théorème connu de Géom.étrie, que les droites Kz et B« seront tangentes à la circonférence. Prolongeons enfin les droites Ox, Oj, As et Bm suivant Ox*, Ojr', As'etBii/.

JVous prendrons le point A pour origine des arcs, et le sens des arcs positifs sera celui de la direction d'un mobile se mouvanl de A vers B. En outre, conformément au principe du n" 2, les longueurs prises à partir du point O sur Jt/ x on sur y" Y seront positives si elles sont portées dans le sens de Ox ou do Oj"; elles seront, au contraire, négatives si elles sont portées dans le sens de Oa/ ou de Oy' . Pareillement, les longueurs prises sur ^f z à partir du ]3oint A, ou sur i/it à partir du point B, seront positives si elles sont comptées dans le sens de As ou de Bu; elles seront, au contraire, négatives si elles sont comptées dans le sens de A.z' ou de Bf/.

Cela posé, désignons par x la quantité positive ou négative qui représente l'arc variable dont l'extrémité M peut prendre sur la circonférence toutes les positions possibles;

CHAPITR13 PKE«IEn, 5

MP perpendiculaire sur a:' x, etMQ perpendiculaire sur jj-'yprolongeons le rayon OM qui coupe w'k en Set a'z en T; menons enfin par le point M la tangente HR qui coupe j'j en H et x'x en K : la longueur OQ ou sou égale JVIP, prise avec le signe qui lui convient, est le si?tus de Tare œ; les longueurs AT et OK, prises également avec les signes qui leur conviennent, sont la tangente et la sécante de l'arc x.

On peut ainsi poser les définitions suivantes ;

Le sinus d'un ai-c est la quantilé positive ou négative tjul mesure la perpendiculaire abaissée de l'extrémité de l'arc sur le diamètre qui passe par l'origine.

La tangente d'un arc est la quantité positive ou négative qui mesure la portion de tangente menée par l'origine de l'arc et terminée au diamètre qui passe par l'extrémité.

La sécante d'un arc est la quantité positive ou négative qui mesure la portion du diamètre mené par l'origine, comprise entre le centre et la tangente à l'extrémité de l'arc ,

On nomme cosinus, cotangente et cosécante d'un arc le sinus, la tangente et la sécante de l'arc complémentaire.

De'signons toujours par x l'arc variable dont l'exti'éinité est M; je dis que si l'on considère le point B comme une nouvelle origine d'arcs, et que le sens des nouveaux arcs positifs

soit dirigé de B vers A, l'arc x aura de même que x le

point M pour exti'émité. En effet, puisque B est l'orjgine de

l'arc X, on peut, pour décrire cet arc, aller d'abord de B

en A, et, à pai-tir du point A, il restera à décrire l'arc — x, le sens des arcs positifs étant dirigé de B vers A, ou à décrire l'arc x, en supposant que le sens des arcs positifs soit dirigé de Avers B. Or de cette manière on revient évidemment au point M.

Il résulte de là que le cosinus de l'arc x est la longueur MQ ou son égale OP, prise avec le signe qui lui convient, et que la cotangente et la cosécante du même arc sont respectivement égales aux longueiu-s BS et OH prises chacune avec le signe qui lui convient.

Le sinus, la tangente, la sécante, le cosinus, la eotangente et la cosécaute d'un arc x se représentent par les notations

sin^, tang'a^, se'ca;, cosa-, cota;, coséc^;,

et on les désigne par la dénomination commune de lignes trigonométriques ou de fonctions circulaires.

f^ariatioii des lignes Irigonométriqaes.

6. Nous allons examiner de quelle manière yarient les six lignes trigonométriques d'un arc x, lorsque cet arc varie de o à+co etdeoà — m.

Si X croît de o à -1 — t les six lignes trigonométriques

restent positives ; sin x croît de o à -;- i , en passant par toutes les valeurs intermédiaires ; tangue croit de o à -h =c , et séo^ croît de I à -i- » .

Les trois autres lignes vont au contraire en décroissant : cos^ décroît de i à o; cot^ décroît de -[- co à o, et coséc:)? décroît de + «o à -1- i , Ainsi, en désignant par s un ai'c positif qui déci'oît de manière à avoir zéro pour limite, on a

COt lini E r- -!- co ,

c lim - — £ ) ^ H- a> , coséc - =: -i-

Si X croît de -h '-

restent positifs,

mais les quatre autres lignes trigonométriques sont négatives, sin a; décroît de + i à o; tango: croît de ^- co à o; séc^ croit de — ■ oo à — i ; cos^ décroît de o à — i ; cot:i; décroît