E SIXIÈME

3° On donne, les deux angles A, B et le côté compris c. On a

maïs on peut prendre

s étant connu, on aura A' et B' par les formules (5) ; la question sera ranienée alors à résoudre un triangle rectiligne avec les données A', B' et c.

4" On donne les deux côtés a, h et l'angle A.

On a

S':=ia&sm(A'+B');

mais on peut prendre

S'=i«Ssin(A + B), d'oi .= ^. "[.^+''^

l'angle B n'est pas donné, mais, n'ayant en vue que la détermination de e, on peut le calculer par la formule approchée

sinB ::= - sîn A. s étant connu, on aura A' par la première

formule ( 5 ) , et la question sera ramenée à résoudre un triangle rectiligne avec les données a, b et A'; les formules (5) donneront ensuite B et C,

3° On donne les deux angles A et B et le côté a.

On peut calculer s par la formule

a' 5inB5in(AH-B) ' ~ ^"^ ~""sinAsmi"~'

on aura ensuite A' et B' par les formules (5), et la question sera ramenée à résoudre un triangle rectiligne avec les données A', B'et «.

229. Le théorème de Legendre peut encore être appliqué à !a résolution d'un triangle spliérique dans lequel deux côtés

332 TRAITE DK TRIGONOSIÉTRIE.

diffèrent peu de 1 80 degrés, car en prolongeant ces côtés jusqu'à leur nouvelle rencontre on forme un second triangle spliérique dont les côtés sont très-petits. On résoudra ce second triangle où l'on connaîtra toujours trois éléments, et l'on obtiendra ensuite aisément les éléments du premier triangle.

Enfin le même théorème peut aussi être employé pour la ■résolution d'un triangle spliérique dans lequel deux angles sont très-aigus; car, dans ee cas, le triangle supplémentaire a deux côtés qui diffèrent peu de 180 degrés.

Formules trigonométrie aes différentielles.

230. La résolution d'un triangle rectiligne ou spliérique ayant été eiTectuée, on a souvent besoin de connaître les variations que subissent les éléments calculés, lorsque les données éprouvent elles-mêmes certaines variations. JVous supposerons que ces variations des données soient assez petites pour qu'on puisse les traiter comme des différentielles infiniment petites, c'est-à-dire pour qu'on puisse négliger dans le calcul leurs produits et leurs puissances; on peut alors, en faisant usage des règles du Calcul (différentiel, calculer les variations correspondantes des autres éléments par des formules très-simples, et se dispenser ainsi de reprendre la résolution du triangle avec les données nouvelles.

TuiANGiEs HECTiLiGMES. — Lcs formules fondamentales de la Trigonométrie rectiligne sont

Iog«^IogsmA=zlog& — logsinB:=logc — JogsinC, A-^B-l-C = l8o<'.

Supposons que trois des éléments, parmi lesquels se trouve au moins un côté, reçoivent des accroissements très-petits, les autres éléments prendront des accroissements correspondants ; nous désignerons tous ces accroissements par la caractéristique i, et alors les équations précédentes donneront

— — cotAM = — — cotBJB= -^ — colCK,

M -(- SB + ^C = o.

CHAl'lTBE SIXIÈME. 333

Au moyen de ces équations on pourra calculer trois des variations âa, . . . , en supposant les trois autres connues, pourvu cependant cfue parmi ceiles-ci se trouve la variation d'un :ôte; il ne faut pas oublier que, pour le calcul, il faut écrire $A sîii i", âB sin i", aC siu i", au lieu de W, ÔB, 3C.

Si l'on donne S'a et les variations des angles, on aura pour calculer ^b et ^c,

( Sb -j:~ tsa-V-h sini"(cotB.ÎB — cotA^A),

I 5c = Î3<z-l- (;sini''(eolC3C — cotAJA).

Si l'on donne âa, èh et âA, on aura

[ ^T. - i^ne^- !,. ^ i^?!^ .V, u tîBS B .,

-JÈ — cEangBsini"^A.

Si l'on donne 3a, Je, $C, / 5c = cosB^n-(-

! ^B :::= — 5A — ûC.

Enfin, si l'on donne 3a^ 3b et Se, on aura pour calculer SA

c) " = Fiir^di:? '' ~ c Jb'bI ■' " ^ . Jb'sI ■- '''■

et l'on obtiendrait, par des changements de lettres, deux autres formules semilables pour calculer 3B et 3C.

231. Triangles sphériques. — Nous emploierons, comme dans ce qui précède, la caractéristique S pour désigner les variations lies éléments. La formule

COSii =;cosè COSc -H siuô sine cosA