CC
(8) COsé»=;
ce qui montre (jue cota:, sccr et cosecj; sont respective] les inverses de tangx, cosx et ainx.
Des équations (4) et (5) on déduit
o«, h cause des relations (7) et (8),
Ces deux dernières peuvent être démontrées dîrectemeut, car les triaiigles rectangles OTA et OSB donnent
Ôï' = bK' =-0A -h AT , Os' = Ôîî'=i:rOB'-l-Bs'
relations qui ne sont autres que les équations (9) et (lo).
i% Pour établir les formules (i), (2), (3), (4) et (5), nous avons supposé l'extrémité de l'arc x située dans le premier quadrant ; mais il est aisé de voir que ces formides sont générales. En effet, quelle que soit la position de l'extrémité M sur la eir conférence, il existe (n" 8) un arc compris entre o et
— ) et qui, abstraction faite des signes, a les mêmes lignes tri-
gonométriquesquea:; d'où il suit que, si l'on n'a égard qu'aux valeurs absolues des lignes trjgonométriques, les relations (i), (2), (3), (4) et (5) auront toujours lieu. La relation (i), qui ne contient que les carrés de smx et de cosa;, sera donc vraie dans tous les cas, et il suffit de constater que les deux membres de cbacune des relations (2), (3), (4) et (5) ont toujoiirs le même signe. Or on a vu :
i" Que coso: et sécx sont tous deux positifs si l'extrémité de l'arc x est située dans le premier ou dans le quatrième quadrant, et qu'ils sont négatifs dans les deux autres cas ;
2° Que sina: et coséc x sont positifs si l'extrémité de l'arc x est située dans le premier ou dans le deuxième quadrant, et qu'ils sont négatifs dans les deux autres cas ;
l6 TEA.1TÉ !)E TUrCONOBlÉTKEE.
3" Que la tangente et la cotangciite de x sont positives si l'extrémité de cet arc est dans le premier ou dans le troisième quadrant, auquel cas slnx et cosx sont tons deux positifs ou tous deux négatifs ; tandis que les mêmes lignes trigonométriques sont négatives si l'extrémité de l'arc x est dans le second ou dans le quatrième quadrant, auquel cas sinjc et cosar ont des signes contraires.
On conclut de là, et de la règle de la multiplication des quantités positives et négalîyes, que les deux membres de chacune des relations (a), (3), (4)5 (5) sont toujours de même signe. Par conséquent ces formules subsistent potu' toutes les valeurs de x.
13, Des relations (ï), (2), (3), (4), (3) on peut tirer les valeurs de cinq quelconques des six lignes trigonométriquea en fonction de la sixième ; on a, par exemple.
— sin'j:,
im'^.
— sin'i-
mx
sin-j;
Remarquons toutefois que, lorsque l'on connaît une ligne trigonométrique d'un arc x., les autres lignes ne sont pas toutes déterminées complètement; ainsi, quand on donne sinar, la valeur de cosécx est déterminée, mais on ne connaît que les valeurs absolues des quatre autres lignes. La raison en est que, parmi les arcs dont le sinus est donné, il y en a dont les cosinus, tangente, cotangente et sécante sont positifs, et d'autres pour lesquels les mêmes lignes sont négatives.
On a souvent besoin de connaître sinx et cosx quand on donne tang:c; supposons que la valeur donnée detang.r ait la
forme fractionnaire — ; on aura
CBAPITDE PREMIER.
d'où l'on tire
dans ces deux formules, le radical \Jm^ ^- n' doit être pris avec le même signe; mais ce signe est indéterminé.
L'arc j étant égal à son complément, cos j est égal à sin y ;
e ensuite, par ce qui précède,
Formules relatives à l'addition des arcs.
14, SiHus ET cosiMTJS. — Nous nous proposons ici de déterminer le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs, connaissant les sinus et les .cosinus de ces arcs.
Désignons par a et h deux arcs positifs dont la somme n^
surpasse pas-- Soit [fig. 6) A l'origine des arcs; prenons Fis. 6.
AM = a^l MN = è ; on peut considérer l'are h M pour origine et N pour extrémité, et l'on a
menons NQ perpendiculaire sur le rayon OM; NE. QI, MP Tr!g. s.
yGoosle
iS TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
perpendiculaires surOA, et QH parallèle à OA, on aura
sin a =: MP, cosn = OP,
sine L^NQ, cos& = OQ,
sin(« + &)=:WR = QI-!-nH,
cos {rt + &) = OR = 01 — QH.
Cela posé, les triangles semblables MPO et QîO donnent
Q£ m OQ
MP"^OJ? ~Ôm' d'où l'on tire
Les triangles MPO et WQH sont aussi semblables, ear ils ont les côtés perpendiculaires ebacun à chacun; on a donc
d'où Ton tire
MP.NQ «"- OH
On a, d'après cela,
(,) sin (a + ») = .»
)«cosÈ-t-cosnsir
(=) cos(«+6) = co
sacosè — sin«sir
iS. Ces formules (i) et (2) n'ont été démontrées que dans l'hypothèse où « et A sont deux arcs positifs dont la somme
n'est pas supérieure à - ; mais nous allons prouver qu'elles
s'appliquent à deu3 arcs quelconques a et 6.
1° Les formules {1} et {2) subsistent pour toutes les valeurs
de a et de h comprises entre o et —
Cela ayant été établi pour le cas de o H- è -< - ou = -, sup- - h'^ —^1 soient a' et b' les compléments de a et
