CHAPITRE PRl

de è, on aui'a ce ~\- b' <^ — ; par conséquent,

Comme les sinus de deux ares supplémentaires sont égaux, tandis que les cosinus sont égaux et de signes contraires, si l'on

rentplacc a', b' et d -\~b' par leurs Taleurs a,~ — h et

1T — {« + i), on obtiendra précisément les formules (i) et (2). 1° Siles formules [1] et [1) s' applùjiient à deux arcs a et b-,

elles subsistent encore, quanà on ajoute— à l'un des arcs. Les arcs a et b satisfaisant, par hypothèse, aux formules (r)

et (2), posons «'=:«-;-— ^et remplaçons a par a' j il

viendra

donc les formules précédentes peuvent s'écrire comme il suit :

et l'on voit que ce sont les formules (i) et (2} où l'on a mis a'

ou fl -1- - à la- place de a.

Z° Les formules (i) et[o.) subsistent pour toutes les valeurs positives de a et de b.

Supposons, en effet, que les arcs positifs « et è contiennent

20 TUAITÙ LE TRlGONOJIlîrHli:.

respectivemcnl, lu premier m, le deiixiciiie n quadrants, et posons

a' et b' étant chacun moindres qu'un quadrant; on aura

cos{a' -i- b') = cosft' cosa' — siiin' sin&'.

Or, d'après ce qui précède, ces formules subsisteront si l'on

ajoute successivement m fois - k a' et n fois - à è'; donc les

formules (i) et (a) s'appliquent à deux arcs positifs quelconques ti et i.

4° Les formules (i) et (2} subsislenl pour des valeurs f/uefconques de a et de b.

Cette proposition étant démontrée dans le cas où a et è sont tous deux positifs, supposons que l'un un moins de ces arcs soit négatif, et désignons par k un entier assez grand pour que les sommes ihT. -^ a ^=^ n', 2 /f 71 -|- è = è' soient positives ; on aura

sin(rt' + 6') = sinû'cos6' + cos«'sin6', cos[«' +b') = cosa'cosè' — sma' sin5' ; remplaçant a' par 2 Atl 4- «, h' par r: hn -\~ é, et se rappelant que l'on a, quel que soit x^

on retrouve les formttles (1) et (2).

La généralité des formules (i) et (2] est donc complétemeni, établie; il convient de remarquer que chacune de ces formules peut se déduire de l'autre en remplaçant dans celle-ci a par

a H — > ou S par 5 -f — ■

Si dans les formules (i) et (2) on change b en — i, il vient

(4) cos((! — b) =:cosncosè H-sin«sini.