CHAPITRE OUATlirtWE. iBS

Effectivement, désignons par C et c' les valeurs de G et c <jiii se rapportent au deuxième triangle; il faudra remplacer, dans les forniules (12) du n" 123, B par 180" — B, ou h par 180° — &, ce qui revient à permuter entre elles les lettres S et D, ou s et rf, suivant que les données du problème sont a, è, A, ou A, B, a. Alors si l'on fait, pour abréger,

tang(^'-^'±45»)=±\/M'N', tang(^ + 45'>)=±^^-

Lorsque les données sonto, 5, A, il faut prendre les signes supérieurs dans l'un et l'autre membre de la première formule, et le signe du radical de la deuxième formule est celui des quantités M' et M'. Si, au contraire, les données sont A, B, a, il faut prendre les signes inférieurs dans les deux membres de la première formule, et le radical de la seconde formule doit être pris avec un signe contraire à celui des quantités M' et !N'.

Remarque. — On voit que la solution complète du problème, même dans le cas où elle conduit à deux triangles qu'on veut calculer l'un et l'autre, exige seulement l'emploi de sept logarithmes.

ISl. Troisiîîme méthode, — La solution la plus simple du problème qui nous occupe s'obtient par le moyen des trois formules dans chacune desquelles figurent les données avec l'une des inconnues. Cette méthode, qui exige le calcul de deux angles auxiliaires, est celle qu'il convient d'employer dans la plupart des cas.

Supposons que les données soient «, ô, A; les formules qui déterminent les inconnues sont

inC^ cosÈcosC.

l84 TBilTÉ BE TRIGONOMÉTRIE.

Cliacime d'elles permet de calculer directement l'une des inconnues, et elle fournit en nn^mo temps un critérium pour reconnaître si un triangle est possible avec les données. En effet, ainsi qu'on l'a vn au n° 149, si l'on peut tirer de la première formule une valeur de B telle, que A — B soit de môme signe que a — 6, il y aura une solution du problème corresponàant à cette -valeur de B. Pareillement, si la deuxième formule fournit une valeur de c comprise entre xéro et i8o degrés, il est évident qu'il y aura une solution du problème correspondant à cette valeur, car le triangle formé avec les côtés &, c et l'angle A satisfera aux conditions de l'énoncé. De même, enfin, si l'on peut tirer de la troisième formide une valeur de C comprise entre zéro et i8o degrés, il y aura nécessairement une solution du problème correspondant à cette valeur, car on pourra toujours construire un triangle avec les éléments o, S, C.

La première formule du système (i) est calculable parlogaritlimes; pour obtenir c et C, on déterminera deux angles auxiliaires <p et (^ compris entre zéro et 1 80 degrés, et tels que l'on ait

(2) m>%<? = tangècosA, taiig^ = — -; les deux dernières formules (i) donneront alors

(3) cos [c — ç) = ^?-''^, cos(C — «f^) —cuttttaDgZ'cosi^,

Pour que le problème proposé soil possible, il faut que la valeur de sinB soit inférieure à i, et que les valeurs de cos(c — y), cos(C — ij;) soient comprises entre — i et 4-i; il est facile de s'assurer que ces conditions sont exprimées par la seule inégalité

sm/'siuA ^

Si cette inégalité est satisfaite, on pourra calculer, par la première formule (i), une valeurM de B comprise entre zéro et 90 degrés, et, par les formules (3), des valeurs NetPdec — Ç etC — ijj, comprises entre zéro et 180 degrés. Maison satisfera

cnAPiTRE QUÀTRiÈaiiî. i85

aussi aux équations en prenant B = 180" — M, c — ç=: — N, C — ifi = — P; il est aisé de délermîner, dans chaque cas, les valeurs de B, C, c qu'il faut associer pour obtenir un triangle répondant à la question. Effectivement, si l'on introduit les angles auxiliaires <f> et if dans les formules

celles-ci di

(4) sin{c — ») = sinçHîM^, sin(C - 4) =,sinJ, ^^, ^^' *■ ^' ^tangB ^ ^' ■ cosA

ce qui montre que les différences c — 9 et C — jC ^^''^^ ^'^ même signe. On voit aussi, parles formules (4), que, si ces différences sont positives, les angles A et B sont tous deux inférieurs ou tous deux supérieurs à go degrés, tandis que, sic — û> et C — 1{) sont négatives, les angles A et B sont, i'un inférieur, l'autre supérieur à 90 degrés. D'après cela, les valeurs de

C, c qui doivent être associée

s seront

siA<90^