CHAPITRE QUàTHIÈME. IJ'J
minent les inconnues sont
!€ûl« sinÈ — cotA sinC = cos6 cosC, cote sina — cotB sinC = cosa cosC, cosc= cosa cosô + sînosin&cosC.
On calculera, comme il a été dit au n" il8, deux angles ausiliaires (f el^ compris entre zéro et i8o degrés, et tels que
(2) tangtp=: taoj^ncosC, tang-i = tang&cosC;
les deux premières formules (i) deviendront alors
L'un quelconque des angles auxiliaires y et il* peut servir pour le calcul de c ; car la troisième équation (i) donne, en so servant des formules (2),
cnMros(!.~,) C0 i6cos(« --j,) (4) cos.=. -^-^j^ , o<„« = i^
11 peut arriver que le côté c soit mal déterminé par son cosinus ; dans ce eas, on calculera d'abord A ou B et l'on pourra obtenir ensuite c au moyen de sa tangente; effectivement, si l'on divise respectivement par les équations (4) les deux formules
1 viendra, en ayant égard aux formules (2) et (3),
Si les éléments donnés sont A, B, e, les formules qui déterminent les inconnues sont
c— cotAsinB =^ COSC Cl c— cotBsinA = coscc<
178 TRAITÉ DE TRIGONOllÉrillË.
on calculera deux angles auxiliaires 1^ et ^^ compris entre zéro et 1 80 degrés et tels que
(2 bis) langç^— tangAcosc, taiig^ ;^ ^ tangB cosc, elles deux premières équations (i bis) donneront
La troisième équation (i bis) tlonne aussi
' ' COSf COSiji
et en combinant ces équations avec les formules siaA . sintsinB
il vient enfin
mg(A-^)
Il faut remarquer que les formules (i èis)^ (2 bis), (3 bis], (4 bù), (5 bis) se déduisent des formules (i), (2), (3), {4), (5), en remplaçant dans celles-ci A, B, G, a, &, c par les suppléments de a, b, c, A, B, G et y, i|y par leurs suppléments. Les deux triangles que nous venons de considérer sont effectivement supplémentaires.
Remarque, — Quand les éléments donnés sont a, b, C, le calcul du seul angle A ou B exige la reclierclie de cinq logarithmes, comme l'emploi de la première méthode. Le calcul du côté c par l'une des formules (4) exige également cinq logarithmes; mais, lorsqu'on n'a besoin que de ce seul côté, la deuxième méthode doit être préférée à la première. Il en est de même quand les éléments donnés sont A, B, c ; l'emploi de la méthode précédente n'offre d'avantages qu'à l'égard de l'angle C, dans le cas où l'on ne doit calculer que ce seul élément.
i47. Troisième méthoiiiî. — La méthode dont nous allons parler se rapporte exclusivement au cas où l'on ne veut cal-
CIUPITIIE QUiTRlÈHJÎ. 179
culer que la seule inconnue c oii C. Dans la solution précédente, on a recours, pour cet objet, à l'une des formules (4) ou (4 ^")i t[ui déterminent l'élément inconnu par son cosinus. Il peut arriver que cet élément ne puisse 6tre obtenu de celte manière avec précision, et alors il convient d'opérer comme il suit :
Si l'ineonnue est c, l'équation qui la détermine peut s'écrire
ou
si donc on calcule un angle auxiliaire w tel que
i/siaa sinô.
m obtiendra ensuite c par la formule
Si l'inconnue est C, on a
cosC=— cos(AH-Tï) — asiiiAsiuBsin^-c
sin' i C — cos' ^ (A -h B) -h slnA sinîi sin= -'- c; m calculera donc l'angle auxiliaii'e w par la formule
et l'on aura ensuite C par la formule
Remarque. — ■ Celle troisième méthode n'exige, comme la précédente, que cinq logarithmes pour le calcul de c ou de G.
l8o TKAITÉ DE TRIGOSOMÉTBll;.
148. Exemple, — On donne les côtes o, è et l'angle compris C, savoir :
« = ii3''2'56",64, i = 82''39'28",4o, G=:i38"5o' i3",69, et l'on demande de calculer les angles A, B et le côté c.
;(« — /;) i5^ii'44", la logsiiii{(7-i)
{■[a-hli) 97''5i'i2",5a logCOS j(iî^-È)
iC ficfy.S' 6",S45 lo^siaila-hb)
Calcul tIei{A-i-B).
logcotiC T, 5746163
logcosi(<i — É) 1,9845439
— log— coai(<n-i>). o, 8644213
Jog— tangl(A-f-B).. o,4a358i5
i[A + B) iio''39'35",2g
Calcul lies fingles A cï E.
logcoljC
Calcul de ^{li — Ji).
laiigi(Â-B) = cotiC g|"l!^~^!
-îfA + B}.
KA-]i).
[io''39'35",29 5''4i>'a6",9i
log— cosi(A + B). î, 5475513
logcos-;-[A — B). . . T, 9978668
]ogcot|C
l0gsini(«-i)
-iogsini(« + fr)...
logtangj(A— B) ...
Calcul du côté c.
tangi. = tang.U«-^t)^^|^^
i(A+BJ
logsin|(fi + &) 1,9959074
— log — cosi{<i + ;/). 0,8644413
log — cos-i(A + B) .. ï, 5475513
~logcOSi(A— B).. o,ooai332 log tangue . .
Résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux, ou deux angles et le côté opposé à l'un d'eux.
149. Premièhe méthode. — Soient a, ^ et A ou A, B, a les éléments donnés. On calculera d'abord rinconmie B ou 6 par
CniPlTIiE QUATRIÈME.
la formuliî
et l'on pourra obtenir ensuite la valeur correspondante de C ou de c par le moyen des formules de Néper, savoir :
I tangi(« + &lcos-i-(A+B) tansi(.-.-&]sinl(A + B} ^2 ^ cosHA — B) ^ smi(A — B}
Pour que le problème soit possible, il faut d'abord que le sinus de l'élément inconnu B ou h soit compris entre zéro et i; lorsque cette condition est remplie, il existe pour B ou h deux valeurs supplémentaires l'une de l'autre; mais, pour que l'une de ces valeurs convienne au problème, il est nécessaire que
les valeurs correspondantes de tang — C et de tang — c soient
positives, ce qui exige que les différences A — B et a — h soient de même signe. Si cette condition n'est satisfaite par aucune des deus valeurs de B ou de i, le problème n'admet aucune solution -, mais, si elle est satisfaite pour l'une de ces valeurs, il y a nécessairement une solution correspondante. En effet, A — Beta — b étant de même signe, on obtiendra pour C et pour cdes valeurs comprises entre zéro et i8o degrés, par le moyen de deux des formules de Néper ; ces valeurs de C et de c seront les mêmes que celles qui seraient données par les deux autres formules de Wéper, car celles-ci se déduisent immédiatement des deux premières en faisant usage de la relation
tJDgj-(A 4-B) tangj
siaA sin<i taDgi(A — B) tangi(a — 6)
Il suit de là que les valeurs trouvées pour B ou 6, pour C et pour c, satisfont aux quatre formules de Néper. Si donc on se propose de résoudre un triangle avec les données «, è, C, problème qui est toujours possible, on retrouvera nécessairement pour les éléments cbercbés les valeurs A, B, c.
Les deux cas dont il s'agit ici sont nommés cas douteux des
iSz TRAITÉ BE TniGOfiOHÉrRii;.
tjiangles sphériçues, parce qu'il peut y avoir incertitude à l'égard de celle des valeurs de B ou de 5 qui convient au triangle que l'on doit considérer. Mais, dans les applications, cette incertitude disparait toujours par un examen attentif des circonstances du problème à résoudre.
ISO. Deuxième méthode. — La méthode précédente ne doit être employée que dans le cas où il s'agit de déterminer l'élément B ou S avec l'un des deux éléments C et c seulement. Trois logarithmes sont nécessaires pour le calcul de B ou 5, et l'espèce de cet élément étant supposée connue, il faut trois nouveaux logarithmes pour obtenir G ou c.
Lorsqu'on a besoin de calculer les trois inconnues, on déterminera l'élément B ou è comme précédemment, et si l'espèce de cet élément est connue, on pourra obtenir G et c par les formules (iï) et (12) dun" 123, qui exigent seulement la recherche de quatre logarithmes.
Faisant donc
puis M =
S -1- rf ^ S — d ^^ j H- 1 tang ^ ta.g ^ , K ^. umg ^
:-a, parles formules (11) du n" Î23,
laiig - — ^— =: dz y'MH , lang — - — ;= -
le radical devant être pris, dans la première formule, avec ]e signe des quantités M et N.
On peut employer les formules (la) du n" 123 au lieu des formules (11); il n'y a aucune raison de préférer les unes aux autres. Lorsque le problème proposé admet deux solutions, si l'on a employé les formules (11), comme nous venons de le faire, pour le calcul de l'un des triangles, les formules (la) permettront de calculer les éléments du deuxième triangle, sans qu'il y ait besoin, pour cette opération, d'aucun logarithme nouveau.
