Soit l'équation trinôme
où. p et (j désignent les quantités données; on en tire
et l'on est ramené à résoudre deux équations binômes.
Considérons en particulier le cas où, j7 et q étant des nomliri; réels, on a
l'équation (i) prendra la forme
et l'équation (a) deviendra
Les racines de l'équation z'" =; ^{cosûH- isina) sont comprises dans la formule
d'ailleurs ces racines sont les conjuguées de celles de l'équation z"'=jb (cosa — îsîna); donc les 27« racines de l'équation proposée sont toutes comprises dans la formule
z= ^p (cos— - ^-.^;sm 1,
où il suffit de prendre, pour A", m nombres entiers consécutifs.
ÊdAPITBE CINQUIÈME. 323
Formule de Moivre pour un exposant (juelconque. 177. L'égalité
costï + isiiia -: jcos — hrsin- j
montre que cos - -l-'sin-estui]eracmcn'""'decos(î'-:-isîn«-,
pareillement, cos hisin — est une racine ri'"'" de
cosHi«H-isinma ou de (cosfl 4- 1 sin^)" : on peut donc écrire
^(cosa -i^ iûa.aY'-=c()S, — a -f- ?siii — a, OU
(cosii H-/sina)"=^cos— a-^isai — a.
C'est la formule de Moivre étendue au cas d'un exposant fractionnaire — ; mais il faut remarquer que le second membre ne
représente qu'une seule des n valeurs dont le premier est susceptible. On obtiendra d'ailleurs toutes ces valeurs (179) en multipliant le second membre de la form.ule précédente
par cos h i sm — ■-■
La formule de Moivre a lieu encore pour un exposant négatif quelconque -—m; en effet, l'équalion
(cosiï -l-isina)™=:cosmn -l- isaima donne
■ : — -~ = cosmir — îsinma,
(cos^H-.sm«]"' cûsm«-i-.sm/«»
(cûs« + i sin«)- = cos [- ma) + i sin{- ma).
La formule de Moivre montre qu'on peut résoudre algébriquement les équations auxquelles conduit le problème de la division des arcs. En eJîét, on a
TBIIIÉ DE ïltIGONOMÉTBIE.
i;ette formule exprime que les m valeurs du second membre sont respectivement égales aux m valeurs que prend ie premier, quand on donne à h les valeurs o, i, a,- - ., {m — i). En changeant i en — i, on aura
lîiséquent,
a-]- ik^t 7cosiH- i\
«-+- 2-î-7r "{lc.o^a-\-i\
Ces formules donnent l'expression algébrique des racines des équations dont dépendent cos-- et sin — î lorsque cosa ou sina est donné.
Théorèmes de Mowre et de Cotes.
178, Les théorèmes de Moivre et de Cotes ont pour objet une représentation géométrique des diviseurs réels du trinôme 3='" 3: iz^cosa-^- 1, où a désigne un angle donné, et du binôme z"':±:i.
Les deux facteurs linéaires, qui correspondent à deux racines conjuguées de l'e'quation
sont représentés par
]e produit ^j de ces facteurs est
etl'
ou a identiquement
Ch.
ingeons « eu n H- a, et faisons
{2) î«^^3'"C0SÛ+I ={/oj', .. ■/'„,,)'•
Cela posé, considérons une circonférence de rayon i; partageons-la en 2m parties égales aux points A,, Ai, A^, — , Aîm i ; joignons le centre O à tous ces points, et menons une
ligne OP faisant un angle égal à — avec le premier rayon OAo ; enfin prenons sur cette ligne une longueur quelconque OP^^s, et joignons le point P à tous les points de division. Les triangles 0PA5,„si et 0PAc„^3j i donnent
et, par conséquent,
li résulte de là que le trinôme z^'" — as'" cos« -+- 1 est égal au carré du produit des distances du point P aux points Aq, Aj, A4,. .., et que le trinôme z^'''-^- 23"'cosn-f-i est égal au carré du produit des distances du même point P aux points A,, Aj, Ag,...; c'est dans ces égalités que consiste le théorème de Moivre.
Si l'angle a est nul, le point P est situé sur le rayon OAo et les équations (i) et (2) donnent, en extrayant les racinii carrées des deux membres,
C'est dans ces égalités que consiste le théorème de Cotes ; on doit prendre le signe + ou le signe — dans le second membre de la première formiile, suivant que le point P est extérieur ou intérieur au cercle.
Expressions des puissances du sinus et du cosinus d'un arc en Jonction linéaire des sinus ou des cosinus des multiples de cet arc.
ei, par suite,
ou, en développant,
Considérons ^d'abord l'équation (i). Si n est pair, le second membre renferme un nombre impair de termes, et, en groupant ensemble les termes également éloignés des extrêmes, on obtient
i: impair, le second membre de l'équation [
