CO

on aura d'abord

2l8 TRAITÉ TtK TBIGOWOMÉTRIE.

et si l'on transforme les produits x^Xg, XjXej x^Xi^ x^Xs t sommes de cosinus, on t

par conséquent, les «juantités Xi et œ^, Xj et x^, x^ et Xt, ^i et Xn seront respectivement les racines des équations

Deux quelconques des quantités m,, ii^, Wg, u^ peuvent s'exprimer rationnellement l'une par l'autre; en effet, nous avons trouvé les deux relations

et si l'on forme les produits u^u^, M,zi4, puis que l'on ti forme en sommes les produits de cosinus, on trouvera

de ces formules combinées avec les précédentes on tire

ce qui permet d'écrire les équations (4) de la manière suivante ;

CTIAPITHlî ClNQUlÈaE. ^IQ

Les équations {3) se déduisent l'une de l'autre par la transposition des quanti tés j)'i etjs; pareillement, les équations (5) ne diffèrent entre elles que par celle des racines u qui y figure; il s'ensuit que la résolution de l'équation (i) est ramenée à celle des trois équations du deuxième degré

Bt l'on reproduit effectivement l'équation (i) en éliminant y et M entre les équations (6), ainsi qu'il est facile de s'en assurer. Le problème de la division de la circonférence en dixsept parties égales ne dépendant que des équations du deuxième degré, cette division peut être effectuée avec la règle et le compas. Nous ne pouvons indiquer ici les principes qui nous ont guidé dans l'analyse précédente, et nous nous bornerons à ajouter que ces principes conduisent à cette conséquence remarquable ; que la circonférence peut être divisée en n parties égales, avec la règle et le compas, toutes les fois ^ue n est un nombre premier et que n — i est une puissance de 2. Les plus petits nombres qui satisfont à cette double condition sont 3, 5, 17, aSy, SSSSy. [Voyez mon Cours à'Algehre supérieure, 4* édition, t. IL)

Résolution des équations binômes générales.

i7S. Proposons -nous maintenant de résoudre l'équation binôme générale

où A et B sont des quantités données positives, nulles ou négatives. En désignant par p et a le anodule et l'argument de A-|~Bi, l'équation proposée devient

{1) 3"'=;p{cos«H-/sinii].

Posons

(3) E = r(c0Sç-+-;si!)i)),

et, pour que la valeur (a) de z satisfasse ù IV-quatioii (ij, il faut et il suffit {160} que l'on ait

Les racines de l'équation proposée sont donc données par la formule

OÙ h désigne un entier indéterminé.

Pour que deux valeurs de Tî correspondent à deux valeurs égales de s, il faut et il suffit que leur différence soit un multiple de m\ l'équation (3) comprend donc, comme cela doit être, ni racines distinctes que l'on obtient en donnant à k m valeurs consécutives quelconques entre — co et -|- ao ,

par exemple.

La formule (3) peut s'écrire ainsi :

'y'|0 (cos ;-îsin — j est l'une des racines de réq;iiation (i),

cos — ^ -^- i sin — ^ est l'expression des racines m"""' de l'u -

nité; d'où iï suit qu'on obtient les f« racines de l'équation (ij, en multipliant l'une d'elles par les m racines m.'*""' de l'unité. D'après ce qu'on a vu au n" 167, on peut encore représenter les racines de l'équation (i) parla formule

CHAFITEE CINQUIEME. 211

OÙ il suffit de donner à k ios valours o, 1,2,...,—, si m est

Dans le cas particulier où B est nul, on a p = A ou p = — A, suivant que A est positif on négatif; on peut prendre a —: o dans le premier cas et a = Ti dans le deuxième cas. D'après cela, les racines de l'équation

seront données, soit par la formule

dans laquelle il faut attribuer à k les m valeurs o, i , a, . . . , m — 1, soit par la formule

(6) . = ÏA(co.M':d=;rinî^],

où il suffit de donner à jt les valeurs o, i, y,,- ■ -i — ' si m est

pair, et les valeurs o, i, 2,. . . , , si m est impair.

Les racines de l'équation

s"' = — A seront données par la formuîe

ill ^— i/Aj^cos .wsm— -^ J,

dans laquelle il faut attribuer à k les valeurs o, s, 2^.,., m- — ^ I , oti. par la formule

dans laquelle il suffit de donner à k les valeurs o, j , 3, . . . , est impair.

223 TBAITÈ Kii THIGONOMÉTRIE.

Résolution des é^/uaîîons trinômos.