CHAPITRE ClNQUIÈiBE

1 a d'ailleurs u'" — (/"= aisiuma, donc

Oq voit que cos"a s'exprime, dans tous les cas, par une fonction linéaire des cosinus des multiples de a, et que sin"a s'exprime pareillement en fonction des cosinus, ou en fonction des sinus des multiples de l'arc a, suivant que n est pair ou impair.

Expressions de sinmo et de cosm« en fonction de sina

180. Nous nous proposons ici de transformer sm;na et cosma en un polynôme ordonné suivant les puissances entières de sina ou de cosa, ou du moins en un produit formé par la multiplication d'un semblable polynôme et de cos« ou

La méthode très-simple dont nous ferons usage est due à Cauchy; elle repose sur l'égalité

qui a lieii identiquement quels que soient les quantités x et jf et le nombre entier positif «. Pour établir cette égalité, dans

23o TRAITÉ DE TltiGONOMÉTniE.

le cas où ;r et j)' sont des entiers positifs, égaux ou supériei à B, on peut partir de l'identité

Si, après avoir effectué le produit indiqué dans le second lïieinbre, on écrit que les coefBcîents de s" sont égaux de part et d'autre, on obtiendra l'égalité qu'il s'agit de démontrer. Cette égalité étant établie pour toutes les valeurs entières de x et dey supérieures à n, elle subsiste nécessairement, quelles que soient x et y. En eflét, désignons, pour abréger, par If (xjjr) et 4'(^îj') les deux membres de l'égalité en question, et par Xo une valeur entière de x supérieure à n; les polynômes (|i(a;fl,jt') et 'li(xt,j), qui ne contiennent plus que la variable j>', sont égaux entre eux pour toutes les valeurs entières doj)' supérieures à n. Donc on a nécessairement

quel que soitjv; en d'autres termes, les polyuônies (ij^x^y) ip (x, jf) sont égaux, quel que soit y, pour toutes les valeurs entières de x supérieures à n, et l'on conclut évidemment de J;ï que l'égalité

a lieu identiquement pour toutes les valeurs de x etàej.

En remplaçant, dans la formule {i), xpar- etj-par — î on obtient

18i , Si, dans les équations (i) du n" 163, on remplace les