CHAPITRE ClUQUIfejlE

et, pour des valeurs impaires de m,

= 2"-' sm"""

La première des formules (5) donne immédiatement l'expression de la quantité que nous avons désignée par V„, au n** 168; si, en elFet, on pose 3 = cos« + isinrt, on aura

et, en remplaçant aeoso par x dans la première des formules {5), on trouvera

formule qui se réduira à une identité si l'on y rempiaee x par

Développement des Jonctions sin^ et cosx en série, ordonnées suivant les puissances croissantes de x.

183. Les formules (i) du n" 163 peuvent s'écrire de la i nière suivante ; jCOS/«« m{m — i) j , m... ( m — 2?; + i| „,

^ tango -

1 ■ — ^Ti— — — lai.sH """' , ■■■■tang'g4-...:±: """ , -it'

\C0˙n I ' 1.2.3 " i.a..,(an-i-i)

238 TRAITÉ DK TllIGONOMÉTRIE.

en posant

- tang''+'ti -

les quantités R|„ et Ra„+i mesurent les erreurs que l'on commet quand on néglige les puissances de tanga supérieures à la (an -(- i)'*"" dans les valeurs de ?°^^^ çt de -"-^'' ; nous allons chercher à assigner des limites de ces erreurs, en supposant l'arc ocompris entre — -i-et-f--;ï et, par suite, tangua <^i.

La somme Rp se compose d'un nombre limité de termes qui sont alternativement positifs et négatifs, quel que soit le signe de a, et il est clair que les valeurs absolues de ces termes se-

ront constamment décroissantes, t

'tang=.ï<i

par conséquent, la valeur de Rp sera comprise entre zéro et la valeur du premier des termes qui entrent dans son expression, en soi'te que l'on aura

en désignant par ^ une quantité comprise entre zéro et l'unité. Nous pouvons donc remplacer, dans les équations (i), Rga et Rs„+i par les valeurs que prend l'expression précédente de Rp, quand on y fait p =an et p= ^n-^i, pourvu cependant que l'inégalité de condition écrite plus haut soit vérifiée pour p = 2/i, auquel cas elle sera nécessairement satisfaite povir /Li = an -f- 1 , D'après cela, si l'on pose

que l'on remplace a par — dans les premiers membres des formules (i), et m par - dans les seconds membres, que l'on désigne enfin par 9 et X les quantités comprises entre zéro et i

CHAPITBE CINQUIÈME. sSg

auxquelles se réduit Çpour p=^ 2>i et p = sn -I- i^ on aura

sin» » i-langa^ .i(a. - g) (i - a a) / lang» \' ,

et riiîégaiité de condition deviendra

Supposons maintenant que, n étant un nombre aussi grand que l'on voudra, mais invariable, on fasse augmenter indéfiniment l'entier m, de manière que le produit ma ^ x reste

constant; on aura à la limite non-seulement a = o^ ■ — —^:=i,

mais encore cos'" — = i . En effet, on a i — cos — <^ — ^ et,

à plus ibrte raison,

cos — — cos'-^<^^f'ï cos'«-i 11 — cos"" — <;j— ,; en ajoutant toutes ces inégalités, il vient

i cos-^<«î^ ou <^.

Il résulte de là que cos'"— est compris entre i et i j et,

par conséquent, cette quantité se réduit à l'unité quand m est

?,4o TRAITÉ BE TRIGONOMÉTRIE,

infini. D'après cela, les équations {2) deviennent à la limite

I COSa: = l— -^-h...±: — q^O — ■ 77

("■"^î-7Xs-^---=^ ,.»...(a.-n) ^' ......(a»-hîl '

et l'inégalité de condition se réduit à

Les équations (3), où 6 et X désignent toujours des fractions eomprises entre zéro et i , ont lieu pour toutes les valeurs de n fjui satisfont à la condition (4). On voit, en particulier, que, si

c est compris entre aoro et -,

Supposons maintenant que l'entier ïi augmente indélii: ment ; les fractions

auront pour limite zéro, car ce sont des produits dont les facteurs plus grands que i sont en nombre limité, tandis que le nombre de ceux qui sont inférieurs à i , et même à telle fraclion que Ton voudra, peut devenir plus grand que tout nombre donné : on peut donc écrire

Les seconds membres de ces formules (d) sont des séries illimitées qui restent convergentes, comme on le voit, pour toutes les valeurs de x comprises entre — - oo et 4- co ; les