CHAPITRE ciNQuiÈaii;. a

trouvera, pour des valeurs paires de m^

(,)T*-si„„„

'-fl

et, pour des valeurs impaires de m,

Aiusi l'on aura, en particulier,

>!4<.^=i-8iiii'« + 8iiii'o,

isGa = 1 — 18 sin=« + 48 siii'« — 32

■in3<. = 3,m<, — 4sin'o,

Biii5« = 5sino — 30.iii'a + iBiin'o,

234 TKAITÉ DE TRIGOHOBlÉTBIa.

— cns2<3 = 1 — 2 COS^«,

— C0s3t( =r 3 COSa — 4 COS'iï,

cos4<! = 1 — 8 cos=o + 8cos^ «,

— cos6^ =; I — iScos^o -^ 48cos'a — 32 cos'^fl.

182. Les formules précédentes sont ordonnées par rapport aux puissances ascendantes de cos« ou de sina; on peut les ordonner par rapport aux puissances descendantes des mêmes quantités, et elles prennent alors une forme nouvelle qui convient à la fois au cas de m pair et à celui de m impair.

Posons, pour abrégei',

le signe \ indiquant la somme des valeurs que prend l'expression qu'il affecte, quand on donne à n toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à la plus gi'ande de celles qui rendent positifounul l'exposant de cosa; les équations (3) et (4) s'accordent à donner

Mais ces formules supposent /; <[ ; pour n=^ —, dans le

cas de m pair, la valeur de u„ doit être réduite à ( — i ) ' d'après la première des équations (3); dans le cas de m impair, les valeurs de u„ et de c„ se réduisent respectivement, d'après les

CnAPITHE CIîfQUlÈME,

équations (4), n ( — i) ' m et (— i) ' pour n —

Si Von multiplie et que l'on divise par le produit j les expressions précédentes de «„ et c„, il viendra

■'■' = (-•)• Tir::

"■ = '--'''rï^ ,...

pourvu que, dans le cas de «= i, on réduise à l'unîté le produit {/k—?î^i) (m — n — a). . .(m — -zn-i-i] dans la valeur de

u„ . En adoptant cette nouvelle forme , la restriction n <^ —

n'est plus nécessaire ; les seconds membres des formules précédentes se réduisent en effet respectivement à ( — i) ' m et (— i) ^ pour n =; ï dans le cas de m impair; parciSlc-

ment la valeur de u„ se réduit, à ( — i)" pour ?i = —^ dans le

cas de m pair. Les seconds membres de nos formules deviennent illusoires pour n = o; mais, d'après les premières expressions de ii„ et f„, ils doivent être alors réduits l'un et l'aulrc à a'""'. On aura, d'après cela,

TBAIIÉ DE TBIGONOSIÉTBIE.

et ces nouvelles formules ont lieu, nous le répétons, quel quLsoit l'entier m, pair ou impair.

Si l'on change « en ^ a, dans les formules (5), il viendra,

pour des valeurs paires de ni^