CHAPITRE DBUllBMB. 8l

sont données par la formule

nous supposerons que les coefficients p et q soient des quantités réelles données directement ou par leurs logarithmes.

I ° Soit'^ <j ^ o^ ce qui est le cas où les racines sont

réelles et inégales. Si Ton a en même temps ^ > o, on posera

2 sin^'

Tare auxiliaire cp, compris entre — 90 et 4- 90 de^^rés, se calculera par la formule

log( — siny) — log2 -f- - lo^q — logp

si p est positif, et par la formule

logsin^ =: log2 -f- - logy — log( — p) si p est négatif. La formule ( 2 ) devient alors

^^ \ smy y de sorte qu'en appelant Xj et Xt les deux racines on aura

^i = y/î tang - <p, Xi== sjq cot - (j»,

expressions calculables par logarithmes.

Si Ton a ^ <^ o, on posera

2 tang îp '

Tare auxiliaire cp, compris entre — 90 et -h 90 degrés, se cal- <:ulera par la formule

log( — tang<p) = log2 -h - log(— 7) — logp

Trig. s.

si p est positif, et par la formule

logtangy = log2 -f- - log(— 7) — log(— P) si p est négatif. La formule (2) devient alors

de sorte qu'en appelant x^ et Xt les deux racines on aura

a:, = — y — q tang - y, je, = -I- y — q COt - y.

2** Soit ^^^ q <^o^ on pourra poser

^ 4 COS*?p

et l'arc auxiliaire y se déterminera par la formule

logcos(p=:log{=h/?) \ogq — log2;

la formule (2) devient alors

xz= — '^±- tangy y — i ;

la partie réelle des deux racines imaginaires est — ^ j et le logarithme du coefficient de \j — i est égal à

\o^{±p) + logtangij» — log2.

60. On peut ramener à la résolution d'une équation du deuxième degré le problème qui consiste à trouver tous les arcs X qui satisfont à une équation de la forme

a cos.r -V- ^ sino; =: c,

où a, i, c désignent des nombres donnés positifs ou négatifs. Il suffit, en effet, pour cela d'exprimer sin j: et cos j: en fonction d'une même ligne trigonomé trique; mais la question dont il

GHAPlTaB DEUXIÈME. 83

s'agit peut être résolue beaucoup plus simplement de la manière suivante. Déterminons un arc auxiliaire y compris entre — 90 et -f- 90 degrés, et tel que l'on ait

b tangyrr:-:

en remplaçant b par a tang^, Téquation proposée devient

a{co%x 4- tangf sin^} = c, ou

COS [X — a I = i .

Pour que le problème proposé soit possible, il faut que

soit compris entre — i et -|- i , c est-a-dire que 1 on ait

c^ cos' »

^ < I ou c' < a» + b^.

Si cette condition est remplie, les Tables feront connaître un arc a compris entre zéro et i8o degrés, et ayant pour cosinus

; les racines de l'équation proposée seront données ensuite par la formule

où h désigne un entier arbitraire positif, nul ou négatif.

On peut exprimer toutes les racines x en fonction de Tune quelconque d'entre elles; désignons en effet par x^ Tune de ces racines -, on aura

OL = ±[k'. 36o« + (p — .r.) , V étant un entier, et l'expression générale des racines x sera

J- — A-.3Go°-h(p=ii((p — a:.); cette formule équivaut aux deux suivantes :

X = /• . 36o® -4- jTo,

XT^: k. 36o** -+- 2 y — ^0»

84 TRAiTfi DE TRIGONOMÉTRIE.

Résolution de V équation du troisième degré par lé moyen des Tables trigonométriques ,

61 . L'équation générale du troisième degré (i) X»4-PX^4-QX4-R = o

se ramène à la forme (2) x*-4-/?a;4-7 =0,

p en posant X = — -=-\-x\on peut donc se borner à considérer

Téquation (2), dont les coefficients seront supposés réels. Nous avons vu (n° 29) que Féquation

i0%K ,3 CCS©

a pour racines

ços|» 005(12004- |j, cos(24o«4-|V

si donc on parvient à ramener l'équation proposée ( 2 ) à la forme (3), le problème que nous nous proposons sera résolu. Posons x = i-2, l'équation (2) devient

et cette équation (4) coïncidera avec (3) si l'on détermine la quantité A et l'arc y de manière que Ton ait

p 3 y coscp

équations d'où l'on tire

9 COSÇ = -r

ces valeurs de \ et de coscp ne sont réelles que si p est négatif;