CHAPITRE TROISIÈME. IO

Calcul de la surface s,

1 fl^sinBsinC

2 sin A

alogfl 7,6917136

logsinB 7,7914024

logsinC 1,9375306

— log sin A o ,0044774

— loga 1,6989700

logJ 7,11*40910

jRésolution d*un triangle rectiligne dans lequel on connaît deux côtés a^ec l'angle opposé à l'un d'eux,

85. Si a, £ et A sont les éléments donnés, on déterminera successivement les éléments inconnus par les formules

. ^ 6sinA . ^ ^ f» asinC

smB = , A -f-B-{-C= 180°, cz= . ^ .

a sin A

Lorsque B diflfère peu de 90 degrés, cet angle ne peut être déterminé avec exactitude par le moyen de son sinus 5 dans ce cas on calcule d*abord le produit £sInA et Ton obtient ensuite l'angle B par la formule

^ . 6 sin A

tangB===zb =r',

V(« -f- ^ sin A) (a — 6 sin A)

on peut aussi faire usage de la formule

tang(45°+^B)=±y/i^

èsinA

6 sin A

que l'on obtient en remplaçant sinB par sa valeur dans l'équation 1

d».,.g(45"H-iB) = ±y/l^^

Cependant ces dernières formules ne peuvent faire connaître B avec précision, lorsque cet angle diffère très-peu de go degrés et que les données, comme il arrive le plus souvent, ne sont pas rigoureusement exactes. Dans ce cas, en effet, une légère

no TRAITÉ DB TRIGONOHtTRIE.

erreur dans les éléments donnés peut occasionner une erreur considérable dans Fangle B. ( Foir, Chapitre VI, les Formules trigonométriques différentielles . )

Remarque I. — Si Ton a a > i sin A, et seulement dans ce cas, les Tables feront connaître pour B une valeur M <^ 90°, mais on pourra prendre aussi B = 180** — M;. on aura deux valeurs correspondantes de C,

et, par suite, aussi deux valeurs correspondantes de c.

Pour que Tangle M réponde à la question, il faut et il suflQv que A -4- M soit <; 1 80 degrés \ pareillement, pour que 1 80** — i&i y réponde, il faut et il suffit que M soit ^ A. Examinons da^cus quel cas ces conditions peuvent être remplies.

I** Si Ton a A = ou > 90 degrés, la valeur 180*^ — M de B ne peut convenir, et la condition pour que la valeur M don^Bac une solution du problème est

ou, comme les deux membres sont moindres que 90 degrés,

sinM<sin(i8o° — A) ou <<sinA,

c'est-à-dire

<^smA ou b<^a, a

On voit que le problème ne peut avoir qu'une solution, et ^^

condition pour qu'il en admette une est que le côté oppos(

Fangle donné soit le plus grand des deux côtés donnés.

2*^ Si Ton a A <[ 90°, la valeur M de B convient toujour^-^>

mais, pour que Ton puisse prendre aussi B = 180** — M,

faut que Ton ait

ou, comme les deux membres sont inférieurs à 90 degrés,

sinM> sinA,

c'est-à-dire

fcsinA^ . . , ^ > smA, ou <^a.

CnAPITRB TROISIÈME. 111

On voit que, dans ce cas, la condition de possibilité est a]> A sîn A; si cette condition est remplie, le problème admet une ou deux solutions, suivant que le côté opposé à Tangle donné est plus grand ou plus petit que l'autre côté donné.

Les résultats qui précèdent sont conformes à ceux qu'on déduit de considérations géométriques que nous croyons inutile de rappeler ici.

Kemàuque U. — Dans la solution précédente, on ne calcule le côté c qu'après avoir obtenu les angles B et C ^ or il se peut que, n'ayant pas besoin des angles B et C, on veuille calculer directement le côté c. Pour cela, on peut se servir de la formule

a^z= b^-Y- c' — 2 bc cos A,

d'où l'on tire

€ = b cos A dz \/a^ — b^ sin' A ;

mais, pour rendre cette formule calculable par logarithmes, il faut employer un angle auxiliaire, conformément à la méthode du n** 58, et alors les calculs qu'on doit exécuter sont tout aussi longs que ceux auxquels conduit l'application de la première méthode. D y a même plus : le moyen qui s'offre le plus naturellement pour rendre l'expression de c calculable par logarithmes consiste à poser (n° 58)

^sinA . „ V , asin»

a smA '

car la valeur de c devient alors

flsinœcosA , «sinfflpztzA)

c =: r^— zt a cos» = y î

smA smA

et l'on voit que l'angle auxiliaire ç, dont on s'est servi, est précisément l'angle B du triangle. Il n'y a donc pas lieu de modifier la solution que nous avons donnée.