AF*+BE*+CD»=4ABC + D£F
Dddd 2
jSo CORRECTtÛNS
N*. 770. La forme que nous avoni donnée ^ I1 valeur de f , dam ce nuinffo , ne lenfcimant que dci coefficlens diiîétenriels des fonctions arbiirairei » « 4 » P"" ne pa» pâroitrc asî« générale pour la conclMÎon que nous en tirons , mais il est faciU de b jiKtifier pour le ca* oli f conBcndtoit dei teiin« de U torme NJ'^Vd»^, Omcid de ces termes pouvant être templacé pai la iulte
{d^fVâA-\- — *'—iy<tdcL +/r<t""i<() (488),
il lufTii de considérn ce qui réiiilte de reipreiiton de ^^Nff'Jtt, en tiq>p(H lant toujours que la fonclkin 4 [ > ) ne soit qu'au premier degri danj K. La subctiiHitoit (le cette formule , eff.ctuée comme celle dont on t'eit scivî dans le q". c\té ,
întfûduiile terme iV/-—-— -; -^, (ontenant muI la ibnciioR ♦"(■)► w *■
■' dudv du av
dédnita par conséquent -— - — =0, de même que pour le C3( ob Ton n'iroit
composé le développement de ^ que de coefBciens différentiel).
K*. ^71. M. Paoliet Blot ont remarqué, chacun deleur câié, que la conclusion qui termine ce n*. n'est pas tout -à-fait exacte , parce que la forme aMi|née par Lapkce. & l'iniégftle de l'équation
A assez gcnécjle et ne comprend pas tomes celles qui peuvent avoir lieu. On a des détails iiès-étendus sur cet objet et sur les remarques du n». cité dans un travail complet qu'a entrepiii Biot, sui lei diverses formes des intégrales de* équations difFéreniielles partielles, et qu'il a ptéienté à l'Insûtut; en attendant^ nous observeront qu'en substituant dans l'équation
qui &
n cas particulier de l'équat
ceptee
ulieu de r la série
oh A, B , C,K 1.1 dy
a. 3 dy les coefficient ^ et £ demeurant arbitrai lions 9 et 4 1 c' I'i^d >
A-irBx-irC i*-|- D 1"+ etc.
C supposés des fonctions de ^ , on trouve
Ç==Kv)+x4W f — <F''0-)+7:^4'(y>+7;;;j;^<P"Cy)+
B T 'A D D 7 T T 0 N Si. ^gi
La fin de ce n". indique line.lacttne-âjUK roijvi-ïgî; !s n». (Ité 779 , ne coniicnc point ce qui en annoncé dam le IîïIc , voici comment il fiui y suppléet : P^ge 57J, \. Gy au lieu di mu llgnt ti des luivanitt , /,«( , piocWé analogue h celui que nous allons appliqtln i l'équation
dont la piécédenie n'est qu'un cas particulier.
L tnque les coefficiens /; , 5, 7, P, Q, JV, Miti <leic!ORU»it»,'On Mtïifait à cette équation par U SQppoiitîon de {^=:<^t*"+A]', pourvu que lesquaniittt m et 1 ayenc enti'elles la relation indiquée p^r t'équalioii
l'une de ces quaiititét , ainsi que ie codHcient j4 , demeurent par conséquent arbî> Irairet , et à chaque valeur que l'on peut prendre pour m, par eiemple, cotretpond en général une valeur particulière de n. Les expreisions j=:ji'<"''+"V, i:s= A"t^''+''''ï, etc.
m' et n', m'' et n'', etc. détignant des valeurs correspond ail tet de n et de n , sont donc autant d'intégrales particulières de l'équation différentielle pattielU ' proposée ; et puisque celte équation est du premier degré, on aura
{;=.4'e"'«+n>-^ ><"<«''»+'■"/ -f- etc.
c'est-à-dire, que la fonction cherchée sera eiptiméepar une suite renfermant deux quantités arbitraires dans chacun de tet termes.
Eoler est le premier qui ait («marqué cette maniire d* ?atlsfaîie à une équation différentielle partielle ; il en a donné dan* son Calcul intégial , T. Ul , pag» ftio , un exemple sur l'équation 1
Laplace , pour varier la forme des intégrale» que fournit la série cl-dessuS , fait »ir=;i+ii, et développe reïptMiionî=,4<'»*+nj-jSuirant les puissances défi ; pais dans le résultat qui est de la forme
l = Â-\-ikB->ri^l^C-\-t'PD + etc.
Bf C, D, etc. désignant des fonctions de x et de y, il remplace les quantités ib, ff, iH' , etc. pir des constantes arbitraires. Ce précédé est fondé sur ce que la fonction ^c"-*-^/ doit satisfaire à l'équation diiTéienticlle partielle proposée, quelle que soit la valeur et la forme que l'on donne à la quantité m.
Il est visible que la luppositîon ç=A'"H-''j'eit comprise dans celle du n*. II38.
