CHAPITRE I

Division des périodes par 5.— Résolution de l'équation du cinquième degré

par les fonctions elliptiques.

Préambule.

Le problème de la division des périodes consiste dans la reclierche des valeurs que prennent les fonctions elliptiques quand l'argument est commensurable avec une période. Soit u un tel argument; il existe un nombre entier n, tel que le produit nu soit une période : la recherche des fonctions elliptiques, ayant u pour argument, constitue le problème de la division par n.

Nous avons, dès le début, résolu le problème de la division par 2 et par 4» Jl se résout par radicaux, c'est-à-dire que les fonctions elliptiques correspondantes s'expriment explicitement, au moyen de formules contenant des radicaux, en fonction des invariants. En effet, l'équation du troisième degré

de laquelle dépend la division par 2, et dont les racines sont les

trois quantités e^^ se résout par radicaux. Puis, dans la division par 4j on a obtenu (t. I, p. 54) des formules explicites contenant des radicaux carrés sous lesquels figurent ces quantités e^.

Le problème de la division par 3 se résout encore par radicaux. Les fonctions p ayant pour arguments des tiers de périodes sont les racines d'une équation i^^ = o, du quatrième degré (t. I, p. 96), résoluble par radicaux.

L'addition des tiers de période avec des demi-périodes ou des quarts de période fournit, encore par radicaux, la solution du problème de la division par 6 ou par 12. Comme, de plus, la formule de duplication montre que la division d'un argument quelconque par 2 dépend d'une équation du quatrième degré, il est clair que l'on peut exprimer par radicaux les fonctions elliptiques relatives à la division par 3.2™.

Pour les autres divisions, le problème se présente sous une forme bien plus compliquée. La division des périodes par n dépend de l'équation '\n= Oj dont le degré est \{n^ — i), quand n est impair. Pour la division par 5, c'est déjà le douzième degré. A la vérité, la résolution par radicaux est impossible, sauf en des cas particuliers. Mais l'équation ifn=^o est loin d'être l'équation la plus simple à laquelle se ramène le problème, sauf pour n = '2. ou Al = 3. Quand n est un nombre premier, c'est à une équation de degré (n -f- 1) que l'on est conduit : de cette équation découle toute une grande théorie, celle de la transformation , objet principal de ce Volume.

Avant d'aborder les considérations générales de cette théorie, nous allons traiter, par les moyens les plus élémentaires, le problème de la division par 5, avec la belle théorie qui s'y rattache, la résolution de l'équation du cinquième degré. Ce sera l'objet de ce Chapitre. La division par 7, traitée de même, fournira la matière du Chapitre suivant.

Équation du sixième deg^ô pour la division par 5.

Soit 20) une période quelconque, et posons

20) , Ad