CHAPITRE I

Les deux relatioDS

conduisent, par le théorème d'addition, aux deux égalités

d'où l'on conclut

3(rt -4- 6)(a — 6)2 = ^ (cpa -i- oô),

Soient

a-\-b = x^ ab = y»

Les deux équations, qu'on vient d'obtenir et qui sont symétriques en a et 6, se changent en les suivantes :

\ ^oo{x'^— ^y) = ^{x^—Zxy) — g2X — igz, \ i6(2a72H-j^)(:r2—4j.) = [4(072-7) -^2]2

ou bien

(3) 6a7jK=a73-hi^2^-t-^3,

En substituant, dans cette dernière, la valeur de y tirée de la précédente, on obtient, pour x^ l'équation

Cette équation, du sixième degré, étant censée résolue, on aura, pour chaque racine x^ la quantité y par la première égalité (3), puis a et 6 comme racines de l'équation

(5) «2 rjpfj^J^ y — Q^

C'est ainsi que les douze solutions de l'équation ijig = o se partagent en six couples, dont chacun dépend de deux équations, l'une du sixième degré, l'autre du second. A peine est-il besoin d'observer que l'élimination de :r et jk entre les équations (3,5)

mènerait à l'équalioin{;5 = o, où p m serait remplacé par la lettre a. On peut écrire l'équation (4) sous la forme symbolique très curieuse que voici :

(6) (ar — ioA)(rr-t- •2A)'= o,

en convenant que, après le développement, on remplacera les puissances de A par les quantités ci-après :

On doit, dans cette convention, remarquer que, les symboles de A2 et A' une fois choisis, ceux de A^ et A^ sont, par là, fixés si l'on veut que ces symboles deviennent des valeurs effectives quand le même fait a lieu pour A' et A^. Mais celte condition unique ne détermine pas le symbole de A" ; elle serait effectivement remplie si Ton prenait, pour A^,

X étant arbitraire. En effet, les symboles de A^ et A^ sont des valeurs effectives quand on a

Cette forme symbolique (6) devient donc effective quand les fonctions elliptiques dégénèrent par l'évanouissement du discriminant. Ainsi, au cas A = o, A est une quantité effective, et l'équation (6) a une racine égale à loA, plus une racine quintuple égale à — raA. A celte dernière, suivant les égalités (3, 5), correspond r = A', puis a = b =: — A. A la racine simple correspond jv'= -^5A2, puis

a, b = A [5 zh "7=

Ces deux quantités, a et 6, égales aux deux suivantes