Z =: AÎ

il viendra, suivant les calculs précédents,

dS.

mais

donc

dy / \ ^ \ ^X

dS "^ \2(J — I) "^ 3J/ -^ ~ ^ "^ 2*73J(J — I

,^/dz 1 dX \ n .

dz V i al 8 y Y X

L2(J — I) 3JJ " -iK

dJ L2(J — I) 3JJ 2*.3(J — i)J •2«.3nJ — i)J2

Sans éliminer, voyons les exposants auxquels X appartiect aux points singuliers :

1° Pour le point J = o, ou pose X = J*4- XP"*"* + . . . , d'où Ton déduit

y = sJs-^-h . . . , Z = s{s -i)J*-' +

Substituant dans la dernière équation, et égalant à zéro le coefficient du terme en P"', il vient

o = s{s — }i){s — 1) -^~ is(s - - ^) ^ =^ si s — Dis — i).

Les exposants sont donc o, |, * ;

2" Pour le point J = i , on ])osc; X = ( J — i )*+... , d'où

et la deuxième équation donne

On a donc les exposants o, ^, i, si la condition subsidiaire (nécessaire pour la disparition des logarithmes dans l'intégrale relative à Texposant zéro) est satisfaite.

Or, si Ton pose

X = j -i- X(J — i)2h-. . ., on aura

et en substituant ces valeurs dans la dernière équation, le terme en (J — i)~^ a son coefficient identiquement nul. La condition subsidiaire est donc remplie.

3° Pour J = 00 , posons

d'où

et, d'après la dernière équation

{■'+i-^)hï)=^

Dans le cas actuel, en faisant

on a

Donc

Al = 2 Y, Ai = ^ Z,