V - 3 V — ^' /• = ou

Ayant ainsi choisi /•, on a un système de /•-}- i équations différentielles linéaires avec autant d'inconnues pour déterminer les coefficients du polynôme Q.

Le cas particulier où v est le carré d'un entier pair donne lieu à cette observation, qu'il y a une solution où B est une constante.

En résumé, on a :

l - -f- I polynômes P,

Si V est pair ' .

' I polynômes Q;

I polynômes P,

Si V est impair.. .<

f h I polynômes Q.

On a donc, dans tous les cas, v solutions de l'équation (3), de r une des deux formes V{x) ou F(^) y/4^^ — g^x — gz*

Premier exemple ; v = 2.

On a 5 = I ,

Al— DA = o, 1^2 A — 2DAi=o.

Or on a (t. I, p. 3i3), en supposant A homogène de degré zéro,

,DA=4/3A«(J-,fj»'^.

Posons

il viendra d'abord

A,=- iv/3 A«7J— i)M*B;

puis, B étant aussi de degré zéro,

En remplaçant g^ par (AJ)^> on a

de là l'équation

M- -rr — ; : -h ttt T-^-n—, r A = O.

c/J2 di L2(J— I) 3J/ 26.32J(J— i)

C'est précisément le type {Réduction des équations différentielles, p. 48) d'équations hypergéométriques

d^k /Ro Ri \dX G

^J^'^VJ "^J— iy/^J"^J(J-i) '

avec

Ro = iT — î Ri = f > G = t;(tï )

intégrables afgebriqiiement (ici /? = 2, /?i = 3,/> = 4? M = 24). La solution consisle à poser

et l'intégrale générale est

A = — — ^ j{cp-^c'),

c et c' étant des constantes arbitraires.

Dans une étude approfondie, il j aurait lieu d'examiner l'expression de p en fonction de J, le rôle du groupe fini, etc. Nous nous contenterons, pour le moment, d'un aperçu, fondé sur le calcul.

Si l'on pose

on a

p8.4. ijp*4 i=, YZ, i5iiv/3p2(p^ — i)«=Z3— Y»,

' de sorte qu'on a

d'où résulte

Par là on aura une équation du second degré en p^. Or il est visible que ceci revient à résoudre l'équation

Par la formule de Cardan, en désignant par 6 une racine cubique de l'unité, on a

Soit On a ainsi

M-f^N OM-t-Ô^iN O^M^eJN 3x^ 3M

Z M «ot-H 62ep-h e^y Y ~ N" ~ ë^-Tëëp ^' Pe~. '

Z-+-Y 2ea~«p— e^ 3^a P*-»- »

d'où

- 3^01-4- 9.\/(ea— eB)(ea— Cv)

i ^ 3eot — 2v/(ga "g3)(ga--ev)

p(p^-.) = p3 (p.-- Ij =. p3 4/(^--~g p^£^)^

^.p3-^'V^^-"P>^"«"^>)^^^--ÎL^^.p3(,^-eprh'; i

Voici donc une valeur de A (où l'on peut négliger le facteur A"**")

Une autre valeur sera A p.

Comme on a

3eoi~^ 2/. . .

pk— — ± ,

(l*Oll

3eGt-f- iy . . A

3 Ça — '-^Z' • V

celle seconde solution sera

Aa= [3ea-4- VC^a— ^?)(«a— «y)]*-

Jl est intéressant de voir directemenl comment les combinaisons linéaires de A^ et de A^ donnent Ao, A'p, Ay, A'y. Pour cela, simplifions d'abord. On a

3^a— VC^a — ^§)(«a— ^y) = 2p--^-f-p

toa / a)a\ / l

Suivant donc les méthodes des pages 5i et suivantes du ïome P'',

Par conséquent,

c-hib — \\^ c — ib = k'i ,

c=i(Aâ-^A'o?), ^6=i(A5-A'a^),

ia =^AaAa.

Par conséquent,

c±ia= -(Aa±: Aa)S

.•(^^di.a)=l(Aa=i=.-A'a)S c'est-à-dire

A^?, Ap=-^(Aa± A'a).

Ap Ay= --(Aaifcj'Aa).

En prenanl A = (c -f iby^ on a

De Db

A ~ c-r- Ib ~ c -- t7>

/ De

/> = v/e. — C'a, -^- — — 2ep,

D A — ce r — ibe^ i c( b'^ — a^) -^ ib {a^ — c^) A 6 -:- /6 3 c -+- «6

I c^— lic^b ->- icb^ — ib^ i, . ^ ., ,,.

i c -\- ib 5

— — - ( 3c/x — Mbc) — — (fji — t^c).

De sorte que l'on a six polynômes, dont voici un

p =. (^ ^. ibji [x - {e^-ibc)\,

et qui sont tous exprimables par deux d'entre eux.

La liaison avec la division des périodes par 4 apparaît ici par le calcul a posteriori, La théorie devra la faire apparaître a priori.

Deuxième exemple .* v = 3.

11 y a d'abord la solution ^i ^= i , par conséquent t = p'ii, Jl existe aussi des polynômes t de degré 5 = i, déterminés par les équations

DA — 5iAi, DAi=-^2A.

Le calcul est le même que précédemment, le même aussi qu'à la page 3i3 (t. I). Pour le recommencer sous une forme plus générale, soient

DX^Y, DY^/n^aX.

On posera

ce qui donne

236 TROISI^E PARTIE.

On aura ensuite, Z étant de degré zéro en même temps que X,

r/Z Z 'jiZ mX

rfj 2(J — g 3J 2^3J(J — 1)'

^îX ^ r . I 2 ] ^ m X

rfj* " [^(J-i) "^ 3jJ rfJ 2*.3 J(J — I) ~^'

Nous avons déjà vu : 1" le cas Dw = — ar^, Dr, = ^g.^io^ ce

qui, en posant Y =: — ar,, donne m = — -;

2" Celui correspondant à v = 2, qui donne m = — •

Actuellement, en posant A =. 2X, nous aurons /?? = 1,

2(T^^) "^" 3J j "^J — 2'».3.J(J — I) ~ ^' ou bien

avec

C'est encore un cas algébriquement inlégrable.

Troisième exemple ; v =: 4-

Ici encore, nous avons un polynôme /| = i, répondant à / = p'u = — <J>2 ; P"îs trois polj'nômes t du second degré, ce qui va mener à une équation du troisième ordre.

Puisque v = 4? «^ = 2, on aura

2DA = Al,

2DA1 =: ôAa-^- ^^2 A,

20^2= —^2 Al — ^3 A.

En général, si l'on a