DY = Z H
a-^p 59 i aH-p 3 ,^L^lil'
loi I
équation dont les racines sont
-, , — ou
24o TROISIÈME PARTIK.
L'équalion est donc iiitégrable par les fonctions de Vicosaèdre. Pour les polynômes /| , on a r = i , v = 5,
?.Bi— 5DB = 0, Y ^ï^ — 5DB, = o.
Si l'on fait
on a
DB = Y, DY=5^r,5-sB.
Ce sont les équations de la page 235, avec
d'où
//i II * r * ï I
~~ ~2Ki ~ ~ (•iî.S.S)* " '2*. 3. 5 L*^^^ "" 5 J On arrive ainsi à l'équation type de Ticosaèdre,
Cinquième exemple ; v = 6, /' = 5 ,
6B, — 6DBr^o, - «s'iB — 6DB, = o.
— //i - 5 I / I I \ et l'on arrive à la même équation que pour v = 2.
Lien avec la théorie de la transformation.
Les fonctions P sont paires ; les fonctions Qp' w sont impaires Les fonctions
z=e ^^ ^'^ (ja)v(Aa>»2)î*^
sont paires ou impaires.
i" Si V est impair et t =^P^ z est impair, et Ton a
z = Au -{-... [au facteur (Ato^î)-* près), a" Si V est pair et ^ = Qp' m, z est impair, ,
Qr- Bx ^ —...== Bw>-v-4-...,
>3 = — sîBwH-... (au même facteur près).
3® Si V est impair et ^ = Qp'w, z est pair,
Q r-^ B^ 2 .-...= Bm^-^' -h
^= — aB -f . . . (au même facteur près).
4'* Si V est pair et / = P, :; est pair,
P = A iP- - . . . — A w-^ H- . . . ,
^ = A -I . . . (au môme facteur près).
Dans les deux cas où la fonction est impaire, on a ainsi une fonction z impaire, ayant les racines 2/?ito + 7,m'iù'. En outre, le fac-
leur e *^ a le multiplicateur e~-^^t^"'^"\ et {'^uy le multiplicateur (— i)ve2vr,(a+wj . on a donc
-3(p-^i)— — 5(^'), si y impair, z[{>-\~\)— z{v)\, si y pair.
En conséquence, on aura
(y impair), >3(v) = aisin ptt h- ag sin Spit -i-. . . , (y pair), ^{^) = ^^2 sinapii -+- a^ sin4t^7^ H- . . . .
Pour le premier cas (v impair), soit
— — iTTOJ 12
yio y
réquation (2) montre que l'on a (t. I, p. 325)
«2/»+!= Cin+\q^ ^ ^ .
24a TROISIÈME PARTIE.
Maintenant Ton doit avoir z = o pour u = ao)', c'est-à-dire
p= -, sin(2n-f-i)P7r = i-. r^-v{î/i-Hi)^v(î»+iî].
Ceci ne détermine pas entièrement les rapports des coefficients. MaisPcontient des arbitraires linéairement, et, si l'on en dispose de
manière que z soit nul pour u = — > alors on trouve
= k^Sy,q~^),
k étant numérique, sauf un facteur d'homogénéité. Pour l'homogénéité, P étant de degré i, il faut mettre
Conséquemment
A:3r, y, ^>j= e-2vYja)»'-( Awi2)^ (<iw)v - .
D'autre part,
011 A et T s'appliquent aux périodes 2(o, —
Le premier coefficient de P est donc (en faisant u =• o)
Telle est l'expression très remarquable des solutions de l'équation difiqrentielle.
On devra discuter, examiner s'il y a le nombre voulu d'inté-
grales. Mais en tout cas on devra prévoir que, dans les cas où [ ^ ]
ne pourrait fournir toutes les intégrales, l'équation différentielle est réductible.
La fonction z a aussi les racines
donc
Les séries à double entrée donnent le point de départ le plus simple pour la théorie delà transformation.
Considérons les quantités
20)' ^Gi' 2(v — 1)0)'
et désignons-les par a. Soit
On a
(V = imd -{- %m' Cù' ,
2pâ)' ^ ,.,
Il — a — w =z u = 2mu> — A m b)
2(m'v-f- p) «, = M — 2 mo) — O)
= a — 2 ma) — 2n — •
Soient j)'^^, p'^ Uy ... les fonctions où les périodes sont au et
— , on a évidemment
Pour pu, il faut quelque précautions :
p«-p«2;p(«-«)=-2i+22[i-(7T7iôî]
Donc
ce qui résulte d'ailleurs de rintégration des formules précédentes. On a aussi celte conséquence 2j3'a==o.
Seinblablemenl,
^ ^ na'a
p^/ étant fonction rationnelle de pu, il en est autant de pu — pc, dent les racines donnent immédiatement
J)//J)P z= (PW — P(')JJ
