PU-^PT
î^oit d'abord v impair. A la période 2(55' près, les quantités a sont deux à deux égales et de signe opposé.
Soit 2 0) la période formant avec 2(0' un couple prunilif^ v\ soient e>., e^, e^ les valeurs des quantités pw, p(b', p(€j -\- €)'):
^\j ^n ^u. celles des quantités
j)to, p—=poy, p^to-4- -j =(p(oH-to).
Posant dans la formule précédente v = (o, et remarquant que les quantités p((b — a) sont deux à deux égales [car p((ù-^ ^-**i j
est égal a j3( w 4- 2 1 h de même que les quantités pa, il
vient
iuc - ex= (pu -e,.) 11^——-^^ ,
Posant V = (!)', et remarquant que les quantités p(w' — a) sont
de la forme pi — ) > s étant impair, et égales deux à deux , il vient
pu — P -7- \
Enfin, en posant ^ = oj -|- w', on trouve de même
Multipliant et extrayant la racine carrée, il vient el, de même,
3'XW
En supposant «^ = w, i; = w + w', on aura
' «X — ejjL TT^x— p(w -^ w'— a)
ex— ejjL li Q— pa
et, en supposant w = w, i^ = w'^
^X— ^v TT ^X— .P(w'— a)
ex— ^v AX ex— pa
Multipliant, et utilisant la formule
(ei'-pt)[ei—p{Ci-^t)]=:{ey—e^^)(e-^- ev), il vient
{e\— e^) (ei— ey) -|-| (ex— ^u.) (^X- gy) (ex— g(i.)(.gX— ^v) ~ Il (ex— pa)2
On obtient de même deux autres formules analosrues. Multi-
pliant, on obtient la valeur de
(ex- e^^y^e^^ «v)«n«v- «x)«^ ' ^v sous la forme suivante :
On voit par là que -r est une fonction algébrique des invariants , puisqu'elle est rationnelle , sauf les quantités algébriques J3a.
 Cette expression de -r peut être simplifiée par les remarques
suivantes :
Prenons les arguments a et, d'autre part , les arguments 2 a
aw' 4û' 60)' 2(v — i)(ù'
2(v-hi)(5' ^-,^2(5' 4(v — |)â)' ^^, , 2(V — 2)0)'
Ainsi, sauf des périodes, les quantités 2a reproduisent les a.
Le quotient II — — se réduit donc à l'exponentielle
V— 1 .-.rv— 1^, 2fi)',. .1 v-i .-,^,rv— 1 î/v— i\«n
Mais
donc
20'iaa's^^3^;
v-i (v^i)(»v-n , 2v-ina'iao',aa'5a = (— i) * e ^
FRAGMENTS DIVERS. l!\']
Delà
Av (av-inCiaCjao'sa)* n(a'a)i2,
12 (V— l)(ÎV — 1)T|'Û)'
-^^ tl» +«»+•• •^- IV- 1)»]
= eê 2to
Dans celle formule, on doil assigneï*à a les valeurs j3 el 2w'— p,
D'ailleurs la fonction
resle inaltérée par le changement de w en 2(0' — u\ donc
ir=.n tprA'T,
AV
Naturellement ê| est arbitraire; mais on peut le fixer au mojen
i d'une convention qui définisse A** d'une manière complète. Ceci a
lieu si l'on prend la formule (t. I, p. 402)
On peut vérifier le résultat précédent et déterminer la valeur de Êi par l'analyse suivante (où nous supposerons, pour fixer les idées, ô =: (0, ô = to').
Soient
1 TTi'P iTrpw p
On a
TT[, — Qî(/ V \ p)][, Q».(/»v-p)]
En faisan t le produit des quanti tés analogues pour les divers p, on voit que les nombres p,/?v + p,/?v — p reproduisent tous les entiers positifs, sauf les multiples de v, et chacune, une seule fois. D'autre part
V — t (V— O'v-i-li
Donc, en multipliant le numérateur et le dénominateur par le produit
il vient D'ailleurs
ITZ
'ItùUi'
ftî'
iiz
ftî — .
JL p. = ji:, pv i^L p, =. j?; p. iziîï' L' ,
2 0) ' 2 0) ' âuHi) ^ 2ti> "^ O) V*
i^P'-TT.-52r.P'.-^.["-— C-i-')']
— I le -'"' ■ q
Donc
-ir-w-/ ^' fi. \ //lA*'--^ l-v« rT(l-Q»^)
FRAGMKNTS DIVERS. 249
Mais
DODC
Ainsi
Même démonstration autrement, en prenant
auauel cas il faut faire
TT(l — <7"»^2)(i qnijs-2)
JJ{l-g^n)2
r[(r-^''^ep)(i-^'"9-P)
= — '2Sin -^
-n'- ft.
TTTT(i — q'^^9) (i - ^'«e-p)
Or, on a
v-i v-1 ^' !LP'
25o TROISIÈME PARTIE.
D'ailleurs, p étant <^v, les facteurs asin — sont tous réels et positifs; donc
D'autre part,
JT(i— ^'»ep)(i— ^'«o-p)==TT(i--^'»6p) p *
i-^qin
Donc on aura
r/WV
Relations linéaires entre les diverses quantités A» ou A ^^.
On connaît déjà une expression de A® en série, savoir
Uy a une expression analogue, pour A**, d'après la formule (t. I, p. 4io),
qui donne
Qo = (i-9')(i-g'*)(i-9«)....
Dans la formule
%v = TT(i — q^P-'^z*) (i — grî/^-i^-î) (I — q^P) = \(-^i)PqP*z^P
faisons
q = a?», z^ = rr*,
il vient
qip-\z^ = x^P-*^ q^P-^z-^ = x^P-^y q'^P = x^p.
Les nombres 3/? — i , 3/? — 2, 3/? forment tous les entiers possibles. On a donc
'W{i-xP)=^{-x)Px « ,
formule due à Euler.
Donc
A«*= ( — ) ^*2 V(.i)p^p(3pH-lJ
20) aXo}'
Cela posé, soit Ax le discriminant correspondant aux périodes et 2(1)', et soit
iTC/tû }^\ iTtX 1 /TTC»)
On aura
i7rX(6p + l)« (6/7 -»-!)«
Pe V 12 ^
n— 1 iTtX n* n'
âT 7ie~ "v" * ^4V .
'25a TROISIÈME PARTIE.
Pour les périodes - — et 2 (o on aura un dernier discriminant A
Supposons d'abord v = 3.
On se convainc qu'il n'y a pas de relation linéaire entre
les Ax et A*\ Mais considérons les expressions
et faisons \ -- o, 8, i(i. Toutes les fois que n est premier à 3, la
somme des termes correspondants dans les trois Ax est nulle. Si n es! divisible par 3, ces termes sont égaux et s'ajoulent. Donc
À:H-i:+Âî\--3(Â)*2(-')~3/.y
n — \ 3ns
Kn outre, soil A la somme des termes où n n'est pas divisible par 3, B la somme des autres/ abstraction faite du coefficient exponentiel , on a
Ah-
OA
Ou on oonolul
IVllos sont les doux relations linéaires qui expliquent com-
iTienl —T est solution d'une équation linéaire du second ordre à
coefficients rationnels.
Soit V un nombre premier impair quelconque, et prenons
Dans la suite des nombres impairs /?, distinguons : i" les multiples de V désignés par Rq] 2" il v a ensuite résidus quadra-
tiques J^i , ^2? • • • ? Pv -1 ? ce qui donne lieu à distinguer les nombres
/?i, n,^ ..., /iv-i? dont les carrés sont congrus a ces résidus
t ( mod. v). On aura ainsi
\ = Aq-t- Al -4- . . . -h Av-i ,
«JlTT
6tTZ Q '1L11«
A24 = Aq -h e Ai-f-...H-e * Av-i, »
A.o =Ao-He Al 4- . . . H- e ' Av-i,
fi(V-n/irQ, 6(V-1)lTC q
^(v— i}'2v= Aq-t- e Ai-+-...H-e A V— 1 ,
d'où il résulte oar addition
Ay -f- A24-h...-h A(v-i)n = VvA ,
puis, par élimination des A, v — ^- = —^ — relations linéaires
homogènes entre les A). Pour les obtenir, multiplions ces équa-
tions respectivement par i , e ^ , <? ^ , . . . (y étant un non résidu) et ajoutons-les ; comme il est certain que y — ^z n'est jamais nul, il viendra
Aq -h ^ A2i-f-...H-e i^(v-i)2V
Ou trouvera de même (en remarquant que les nombres 6p H- i reproduisent tous les nombres possibles, aux multiples près
de v)
2 lit
2/ir Y !
'Si
Calcul des fonctions symétriques.
