CHAPITRE I

Cette quantité peut avoir une limite finie si c tend vers «, en même temps que h tend vers |f.

C'est aussi ce qui apparaît sur la formule (69). L'équation en X a la racine triple X = i, pour h = \ ù Supposant donc cette valeur de h et c infiniment voisin de /, l'égalité (69) donne z sous une forme indéterminée quand X devient égal à i. Mais, pour les deux autres racines X, on aura

Cette considération fournit le moyen de caractériser ce cas par lin calcul direct.

L'hypothèse h=^\i donne

{y. — if V" / • "^ / 3

De là vient, pour z^ en vertu de la relation (74)? cette équation

Ce dernier trinôme, du second degré, doit donc être un facteur du polynôme (62); on a donc identiquement

c'est-à-dire

lol — -p3-{- -— -, 20m = -p*— ^^— .

L'élimination de p fournira la condition caractéristique de ce cas où, comme on voit, p est rationnel; le premier membre de l'équation se décompose, par conséquent, en deux facteurs rationnels, Tun du second, l'autre du troisième degré.

Un second cas à signaler est celui où c est infini, où, d'après l'égalité (71), on a

Prenant, pour point de départ, l'équation en Z, on voit que ce cas est caractérisé par la condition

(75) /ti — 8w2=o,

4o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

et que Puiu' des solutions donne les résultats suivants :

On peut encore fixer l'attention sur le cas où, Tune des valeurs de p étant zéro, c est nul aussi. Si Ton prend, en outre, p:c = i, on obtient ainsi Téqualion

~■-^y^(lhz^+^,z-/:j = o.

qui joue un rôle dans les importantes recherches de M. Gordan. Nous n'aurons pas à nous en occuper.

Los cas particuliers précédents induisent à modifier les formules par l'emploi de notations convenablement choisies. Nous poserons