CHAPITRE I

Dans cette dernière formule, on ne voit apparaître que c^ et Ac, fonctions rationnelles de p, comme le montrent les égalités (66, 68). A la vérité, /i lui-même est nécessaire pour composer l'équation transformée (59) ; cependant cette équation ne change point si Ton y change, à la fois, les signes de It et de X. Puisque la formule (70) ne contient que des puissances paires de X, il est donc clair que l'irrationnelle h est étrangère au problème. C'est ce qui apparaît plus nettement encore si l'on envisage la transformée (Sa), où l'inconnue est Z.

Parles égalités (33, 34), on a

Jl en résulle

dans cette formule n'apparaissent que Ac et c'-. Enfin la constante J^ qui figure dans l'équation en Z, se détermine en fonction de p seulement comme il suit.

Des égalités (63. 64), tirons

9 c''(mp -f- nc"^)

puis substituons l'expression (66) de c-. 11 vient ainsi

9 l-^[{ln — m-^)p--^mn\

Parmi les cas particuliers, nous signalerons d'abord celui 011 l'on di c^ = — I . Soit c=^ i; l'égalité (60) devient

La substitution directe dans l'équation (5()) donne, pour ^= -r-> la transformée

lU

38 TROISIÈHE PARTIE. — FRAGMENTS.

Ce cas de réquation ((h.) est caractérisr, on le voit, par la condition

(y'\) 3 In — 4 m^ = o.

Cette condition satisfaite, l'une des racines p est déterminée

par l'égalité

il y correspond c- = — i et

S ^ n'- - - en =^ '..'

De cette dernière égalité, où l'on mettra i au lieu de c, on

conclura

G4 , ^/'<1 f^'*\ [) ni^ \ .'5 m» / '

tandis (fue la formule (7i>. ) présente son second membre sous la forme indéterminée.

11 j a cependant un autre cas, fort différent, où c- est encore égal à — I . En supposant c = /, on a '

f=li-h, ef, d'après les formules (64),

Les formules (63) deviennent

VJ/--|(/?^ ^Jm--{/-?S ^-^^}n^--ifp\

On en déduit

(VJ)'(3//i— i;n2)^o.

Donc, 3/;? — ^m- étant supposé différent de zéro, on voit que J est nécessairement nul. L'équation en Z ajant alors une racine infinie triple, il est clair que c'est ici un cas limite. La formule (ni ), quand on y suppose Z infini, donne, pour la partie principale

de ^,