CHAPITRE I. f\l

En la rendant homogène, on oblient

ou encore, faisant disparaître N par le moyen de Tégalité (77),

Dans cette dernière formule, J apparaît comme dépendant de deux variables, les deux rapports [jl; A et ^'.r^. Les deux quantités J et J,, qui correspondent aux deux transformations d'une même équation (62), sont alors liées ainsi : soient

'="(?■!)• '.="(Mf>

on aura, suivant (77),

(78) (4j^3>)3{^,3^j^(8jx-X)2r,r,i,

tandis que la quantité N, caractérisant, avec le rapport [jlIa, Téquation (6'i), est déterminée par la relation

Nous devons examiner le cas où l'équation (62) en z a une racine double.

L'équation en X n'a point, en ce cas, de racine multiple; on a Yu, en effet, que les racines multiples de cette équation (et ce sont des racines triples) se présentent dans le cas J = o. En conséquence, deux racines X et X' correspondent, à la fois, à la racine double ^, suivant la formule (69)

cz

On a donc

(80) X-f-X'=^, XX'^i-+-?.

cz z

On doit avoir aussi

X2X'2h- V[(X-hX')2— XX']-h 5.

Substituant les expressions (^o) de X 4- X' et de XX', puis, d'après (66), remplaçant

?Y ..«„ /np-'-^n

par j ,

on obtient la condition

/ . py 10 ( mp^^n

Une des racines p de celte équation s'offre immédiatement par l'observation suivante. La quantité ^, racine double de l'équation (62), satisfait à l'équation suivante, dont le premier membre est la dérivée de

— ( z'^-^ 5/z^-h ')mz -h //),

prise par rapport à - et multipliée par tz'*:

{%'X) 3lz^-^ ^mz -'- H = o.

Kn prenant donc p = | :;, on a

Vvec celte valeur de p, on a

9 \- mp -\- ^ n

Iz^

par conséquent, c = zt |. Le signe de c étant indifférent, prenons le signe plus; les égalités (80) deviennent

Xh-X'=i, XX'=|.

Ces conditions sont effeclivement remplies par deux racines de l'équation en X dans le cas où l'on a h = l^ comme le montre l'identité