CHAPITRE I

On trouve alors, en niettanl c= | à la place de X,

et, d'après les égalités (64).

D'autre part,

En mettant | :? à la place de p dans les égalités (63), on a mainrenant

/ = — 3 z^, m = — l z'*j Al — l z^.

Dénotons par Zq^ an lieu de z^ cette racine qui doit être double ; nous avons, pour le polynôme (62), l'expression

(83) 35— f Zi 32— I 32 3 -I- J Z^^ --{Z— Zo)Hz^ -'r- -IZoZ^-;- 3^2 ^ ^ 7. ^3 )^

par où Ton voit que ^0 est bien, elTectivement, une racine double. Nous n'avons pas ainsi obtenu le cas général où le polynôme (62) aurait une racine double. Pour ce cas général, il doit se trouver, dans le polynôme en ^, une arbitraire de plus, et ce polynôme aura la forme

z^-h 5f z^-h jmz -i- n ={z ■ - Zo)'( z'^-{- 'iZoZ^-h 3z^z ■+- p), d'après laquelle les coefficients sont déterminés comme il suit : (84.) 5/ = p — 4^J, 5m = Co(3;:3--'2p), ai^^JS.

Pour ce cas général, où [3 diffère dé |.3Jj, il est clair que la racine p = ~Zo de l'équation (81) ne peut convenir. La seconde racine convient donc. Il faut donc, de toute nécessité, que les racines p de l'équation (67) coïncident, toutes deux, avec cette unique racine de l'équation actuelle. En d'autres termes, V équation (67), en ç^ a une racine double en même temps que V équation proposée (62), en z.

Nous vérifierons celle conséquence par un calcul direct. Cherclions d'abord, par Téqualion (67), celte racine p. On a

V3 / 3\/52 z/~ 3lz'

Le coefficient de p-, dans ^(p), est

l^Z^ Iz^ ^2 /•2 54

Comme *ï^(|^) est nul, on a donc

Prenant la racine s qui n'est pas nulle, on conclut, pour p, Ici valeur suivante :

4- ^Hin — lz)z'^ i^m^-^ ymlz -^-gl^Z')z

( j ) p ^ 3 — 3Y,7j^Tiri7,7/7:^rr2) - "3"(7;72^^3"m/7V72 z 2 ) '

On remarquera, en passant, le cas de l'équation particulière (83)^ pour lequel m — Izq est nul, en sorte que la nouvelle racine p coïncide avec la précédente, comme cela devait être. Revenant au cas général, nous lirons de la dernière équation, en vertu de la relation (82),

I • , , 5l/n(m — lz)z'- l z'^{^m'^-\- \nilz-\-31^ z^)

niz, -h - n = — f z-

3 3(//*2^- 3inlz-hl^z') 3(//i2h- 37/1/3 -^ l'z-

En recourant encore à la relation (82), on voit le facteur du numérateur se réduire à %m^ — In, Revenant aux notations anlé-

rieures, on a ainsi

Suivant les notations (76), nous avons

3m2T, = 3{ln — w*)$ — In^

__ (m^~-ln)(^ni^—ln)lz^'—(m^--h3mlz-{-f^z^)ln^ ~" /?i2 -r- 3 m/ 3 H- i^z'^'

m^(Sm^-çiln)lz^ — (m-^3lz)lmn^' ~ m^-h3mlz -^ l^z^