CHAPITRE II. lOI

le discriminant s^ évanouissant, la résolvante en x se réduit à

A cause de rhomogénélté et delà forme entière des coefficients, on connaît, par cette voie, les premiers termes de l'équation en x^ à savoir ceux où le degré n'atteint pas 6. Il suffit, pour les obtenir, de faire, dans le développement du premier membre (89), les substitutions

à quoi l'on doit joindre encore celle-ci

Quant aux autres termes, il y subsiste des parties encore inconnues. On aura à faire, par exemple, les substitutions

ar, ^, . . . étant des coefficients numériques, que cette analyse ne peut donner.

Soit maintenant à trouver, pour un discriminant infiniment petit, la partie principale de

Employons, à cet efiet, le développement de pw en série trigonométrique (t. I, p. 4^6) en y prenant

U = > flr = e w .

On a, de cette manière

i TZn 2Ar/7C 2A-'

g O) — g /i qn ^

Sin2 = ( COS I =— -le n gn^^ n g n ^ ^ ]

(2rn/ci

COS = -\e ^ g ^ -t- e ^ a "/.

Si l'on suppose k'^^(n — i), la partie principale du développement provient du terme non compris dans la série et Ton a

Si k' est supérieur à ^(/2 — i), mais inférieur à /i, condition nécessaire à rexistencc du développement employé, c'est le premier terme de la série qui fournit la partie principale. Au surplus, on a

et le second cas peut être ramené au premier. Se souvenant que TjOj se développe suivant les puissances, à exposants entiers, de y-, en cette sorte

(90) T,tO= (l — 2472-h..,),

on conclut

n \aj/ \ 12 ^

Le premier terme conduit, comme il convient, à la valeur limite — V, comme il apparaît déjà par l'expression asymptotique trouvée dès le début du tome I (p. 27)

2aj\2 '2^2 T

D'autre part, la partie principale de A est

que l'on doit comparer à l'expression (47)

11 en résulte

r I c -\n tii