CHAPITRE II

SOUS la réserve que le nombre positif k' ne dépasse pas T,{n — i).

De même que, dans les cas /i= 5 ou n= 7, on peut toujours

distinguer, dans chaque groupe a^ b^ c^ . . . , une fonction p

portant sur un argument de la forme — ^-— , et le nombre [x

caractérise le groupe. Les arguments, dans ce groupe, ont ainsi

la lorme — ^^ ' — » r prenant les valeurs 1, 2, ..., ^(/i — i).

Pour le premier d'entre eux, k' est égal à l'unité et /:= [jl. Si l'on pose donc

on a manifestement

(93) ^[JL-+- y(/î— i)Y = «oe « H-

Quant à la racine x^ qui correspond aux multiples de — > elle

donne lieu à un calcul un peu différent. En supposant u=^ - — >

on a, par la même série trigonométrique (t. I, p. 426), limitée au premier terme

p = ) / î— H 2ûr2 cos ^

4 sin^ — n

En prenant A* = 1 , 2, . . . , ^ (/i — i), faisant la somme et remplaçant "/jw par l'expression (90), on obtient

où S désigne la somme

sinn

qu'il n'est pas besoin de chercher, puisque nous connaissons déjà la valeur limite de ( - ) et de x. On a donc

Employant mainteDant la série suivant laquelle se développe g2{^' I) P- 44^)j la limitant au terme en q'^ et mettant 12^2 au lieu de ^27 ^^ a

On en conclut

^ ( - ) =1 — 23.3.5flr2...;

par conséquent

Enfin, suivant la relation (91),

C'est eflectivement ce qu'on a trouvé tout autrement (49) pour le cas /z = «j.

Les deux relations (98), (94) fournissent, entre les coefficients de la résolvante en ;r, deux conditions. Sans y insister, nous remarquerons qu'elles suffiraient, par conséquent, à compléter, dans le cas /z = 7, cette résolvante dont deux termes seulement ne sont pas, à l'avance, déterminés au moyen de la forme symbolique (89).

Revenons à l'égalité (93) pour en conclure une propriété du discriminant de la résolvante en x^ ainsi que nous l'avons fait, au cas /i = 7 (p. 78). Nous avons n racines dont les différences mutuelles sont infiniment petites, du même ordre que ao. Le carré du produit de ces différences donne le facteur ao avec l'exposant n(n — ï), c'est-à-dire, suivant (92), e avec l'exposant n — i. Le discriminant contient donc le facteur A'*~*.

On peut aller plus loin en cherchant la partie principale de ce discriminant. Par le même raisonnement que plus haut (p. 78), on voit que cette partie principale est un carré, sauf un facteur nu-

mérique, ( — i)^ /i", discriminant de l'équation binôme du

^ième degré.

Le discriminant de la résolvante contient d'autres facteurs : son degré doit être, en eff^et, ni^n -h i), d'après l'homogénéité; tandis