III. i

ig4 TROISIÈME PARTIE.

Parties aliquotes de périodes; leur répartition en groupes, quand le diviseur

est un nombre premier.

Dans ce qui va suivre, les arguments seront toujours envisagés à des périodes près : deux arguments, quand ils diffèrent entre eux par une période, seront donc considérés comme un seul et même argument.

Par la notation (v„ on désignera une /i**™® partie de période effective; c'est-à-dire que mvn est une période et qu'il n'existe pas, en même temps, un autre entier m, inférieur à /i, rendant imvn égal à une période. Quand n est un nombre premier, celle dernière restriction est superflue.

Dans ce paragraphe, nous supposerons n un nombre premier.

Les arguments Wn sont compris dans la formule générale

(I) Wn = — —^ =(PiP),

où Ton doit mettre pour p et p' les entiers depuis zéro jusqu'à n — I, en exceptant la combinaison /? = o, /?' = o. Le nombre des arguments Wn est donc n^ — i ; leur somme est une période

Wn = ~-^ ( 2W -h 2 0) ).

Le produit de iv„ par un des entiers 1,2, ... (n — 1) est encore un argument {v„. Prenant donc l'un quelconque des arguments çPnt on peut former, avec lui, le groupe (wn) composé des arguments

Si l'on avait pris, au lieu de (v«, l'un quelconque miVn des arguments du groupe, on retrouverait ce même groupe; car les nombres /n, 2m, . . . , (n — i) m reproduisent i, 2, . . . , /i — i à des multiples près de n.

FRAGMENTS DIVERS. IqS

Soit maintenant iv]^ un autre argument étranger à ce groupe ; on formera, avec lui, un autre groupe iv'^^ composé des arguments

ce dernier est entièrement différent du précédent. En effet, comme on l'a montré pour le précédent, il se conserve, si, au lieu de w'^j on prend pour le former un quelconque des arguments imv'f^. Si donc un de ces arguments appartenait au premier groupe, tous les arguments appartiendraient aussi à ce groupe, ce qui est contre l'hypothèse.

En poursuivant de même, on voit les n- — i arguments Wfi se répartir en groupes, dont chacun contient n — i arguments. Le nombre de ces groupes est ainsi /i H- i .

Au moyen de la formule (i), on peut faire aisément la distinction des groupes. Pour avoir des résultats d'une forme générale, il convient d'admettre que les nombres/? et/?' sont déterminés à des multiples près de n.

Deux arguments (/?, /?') et (r, /-') appartenant au même groupe sont caractérisés par la condition

(•;•) pr' — p'r^=o (mod /i).

Cette égalité a effectivement lieu si l'on a pris r et /■' égaux à mp et mp' . Inversement, la congruence ayant lieu, soit

(3) pr' — p'r = \Ln\

on en conclut

p{r' ->r'^' n) —p\r -f- v/i) = n ( [Ji -+- /? v' — />'v).

On peut trouver v et v' par l'égalité

jDv' — /?'v -t- (ji = o;

car, si/? et/?' ont un facteur commun, ce facteur, d'après (3), appartient aussi à [x. Cela étant, r + v/i et / + v'n sont proportionnels à/? et/?'; ce qu'il fallait prouver.

Supposons maintenant un argument (r, r') qui n'appartienne pas au groupe de (/?,/>')? ^^ sorte que la congruence (2) n'ait pas

lieu. On pourra trouver un entier m par la condition

m{pr' —p'r)^^ i (mod /i).

On voit donc qu'il j a, dans chaque groupe, un argument (/', r') caractérisé par la condition

(4) pr' — p'r=^ï (mod 7i).

On peut donc figurer les divers groupes comme il suit par le |)remier argument de chacun d'eux, en supposant que /• et /•' constituent une des solutions de la congruence (4) :

(P,P')7 (r,r'), {r-r-p,r'-i-p'), {r -^ ip, r' -{-ip'), ....

Dans celte figuration, le premier argument, dans chaque groupe, dépend essentiellement du choix de (/?, />').

11 est permis, sans restriction, de supposer p et p' premiers entre eux ; car, en prenant pour v tous les entiers, on reproduit, au mojen des nombres p H-v/i, tous les entiers, à des multiples près de p' . 11 existe donc des nombres p -hvn^ premiers avec p'.

Ayant ainsi choisi/? et p' premiers entre eux, on peut, au lieu de la congruence (4), prendre l'équation

(5) pr' — p'r = i

pour définir le premier argument du groupe suivant. Soit posé maintenant

( ro) -t- r oi = tii .

Les groupes sont ainsi figurés

'lOi 9.(0' '}.Ci 9.0» 2 0>' ^Ui 5tO>' 2(/l — l)o> (7) > — y 1 > H ) • • • > 1 -•

n n II II n n n n

D'après (5) et (6), au et au' forment une paire de périodes équivalentes à 2(o et 2(o', ou primitives. La figuration (7) des divers groupes est donc telle que le premier argument du premier groupe est un quelconque des n^ — i arguments fv». Le second groupe est arbitraire aussi ; mais le premier argument est déterminé dans ce groupe.

Tous les autres groupes sont ensuite déterminés complètement, quant à leur ordre et quant à Tordre des arguments dans chacun d'eux.

Dans cette figuration (7), on peut représenter le premier argument de chaque groupe ainsi

Le choix du couple de périodes 20), aw' influe seulement sur l'ordre des groupes.

Cas où le diviseur est une puissance d'un nombre premier.

Soit a un nombre premier et supposons n = a«. Pour que (v„, donné par la formule (i), soit une /i'^"™® partie de période, il faut et il suffit que l'un, au moins, des nombres p el p' soit premier avec a. Le nombre des iVn est donc

Gela étant, le produit mwn sera de cette même nature, si m n'est pas divisible par a. En prenant m dans la suite i, 2, . . . /i — i, il faut donc excepter les nombres «, la, 3a, . .. (a«~* — \)a. Il reste donc a* — i — (a*~' — i) nombres m. Soit posé

n — a'^, o{n) = a'^ — a^-^ = nli J.

En raisonnant comme au paragraphe précédent, on voit se séparer les arguments çvn en groupes, dont chacun contient des arguments en nombre <p(/i). Le nombre total des groupes est donc

Deux arguments (j>^ p') et (r, r') appartenant au même groupe sont encore caractérisés par la condition (2). La preuve est la même qu'au paragraphe précédent. Dans la démonstration, il faut

igS TROISIÈME PARTIE.

observer que, si p et />' ont un facteur commun, ce facteur est premier avec n par hypothèse. Cette observation est nécessaire pour établir qu'un facteur commun kp et p' appartient aussi à |i. Que Ton envisage ensuite les arguments (r^ r') pour lesquels pf^ — rp' est premier avec /i, et l'on est conduit à la considération de /i + I groupes

(PyP')^ inr'), {r-hp, r' -hp), (r-h «2/?, r'-+- 2/?'), ••••

Mais il en existe d'autres, car pr' — r/?' peut être non divisible par /i, sans être cependant premier avec n ; c'est ce qui arrive si pr' — r/?' est divisible par a, ou a^, . . . sans l'être par a«.

Soit donc/?/-' — f'p' divisible par a*, sans l'être par a*+^ On pourra déterminer m par la condition

m{pr' — rp')^a^' (moda*).

Mais, tandis que précédemment il existait un seul nombre m

(aux multiples près de /i), il en existe maintenant plusieurs. Soit,

en effet,

m'(pr' — rp') — a* (moda«) ;

on en conclut

(m — m') {pr' — rp')^o (moda«).

Puisque pr' — rp' contient le facteur a*, m — m' est assujetti seulement à contenir le facteur a*~* ; les diverses solution s sont donc

Ainsi, dans un même groupe, il y a plusieurs arguments (r, r') caractérisés par la condition

(9) pr' — rp'==a'^ (mod.n),

et le nombre de ces arguments est égal à a^.

Si l'on prenait donc toutes les solutions (r, r') de la congruence (9), à des multiples près de /i, pour former autant de groupes, chaque groupe serait répété un nombre de fois égal à a*. Cherchons à éviter cet écueil. Soient les deux arguments (r<, r\) et (^2, ^'2)» obtenus en posant

r, = r 4- V2/>, r'j = r'-t- Vj p'.

FRÀGMRNTS DIVERS. I99

Pour que ces deux arguments appartiennent à des groupes différents, il faut et il suffit que r^ r[^ — r2r\ ne soit pas divisible par n. Or on a

n^'î — ri r\ = (V1--V2 )(/>/•'— rp') = (vi — V2)a* (mod /i).

Il est donc nécessaire et suffisant de prendre les nombres v^, V2, ... à des multiples près de a*~*, par exemple dans la suite G, I, 2, . . ., a^"^ — I.

En outre, comme pf\ — r^p' ^ a*, on voit que, sir^ est divisible par a, r\ le sera également, et (r^, r\) ne sera pas un n*^™^ de période effective. On doit donc exclure les valeurs de la suite précédente, en nombre a*~*""*, pour lesquels r-^y^p serait divisible par a.

Ainsi, pour chaque exposant A' = i, 2, . . ., a — 1, ayant pris une solution (/•, W) de la congruence (9), on aura les groupes distincts ci-après

^ V i-» /- /» j ^|vy?>o (moda).

Le nombre des groupes pour l'exposant k est ainsi a^"^ — a*"*"*"* ; pour l'ensemble des exposants A*, ce sera

(aa-i «a-2) ^ (aa-2— a^-^) -h . . .-+■ (a — i) = a^-i — i.

En y joignant les groupes ci-dessus, en nombre a'* H- i , on retrouve le nombre a* -h a^~^ = T(n) des groupes, tel qu'on l'a vu précédemment.

En rapportant les arguments aux deux périodes arbitraires 2G> et 2w', on aura, outre les groupes (8), ceux-ci

où "k est successivement égal à tous les nombres premiers avec a, inférieurs à a"~*. Ce sont donc les arguments

OÙ "kj premier avec a, est inférieur à a*"*.

Cas OÙ le diviseur est quelconque.

Pour que iVn, donné par la formule (i), soit une /i^*^"'^ parlie de période, il faut et il suffit que /?, p' et n aient pour plus grand commun diviseur Tunité. Un groupe est formé avec les produits d'un argument w^ par les nombres premiers à n et inférieurs à n»

Soit n décomposé en ses facteurs premiers, a, 6, c, ...

n = a^b^ct, ...

Chaque fraction — ou — peut être décomposée ainsi :

P ^ El , Pi ^ P}

n"" aà ~^ bf< "^ cl'"'"'

n " a'*' ^ bf^' ^ cl' '

chacune des fractions partielles étant réduite à sa plus simple expression. De cette manière, iPn apparaît comme la somme de divers arguments

%P\iù 2p\o)' ipitsi 'iPi<»>

Pour que Wn soit une /i*^'"® partie de période, il faut et il suffit que l'un des exposants A, h' soit égal à a, Tun des exposants A", A*'

égal à p, Ainsi w^ est la somme de divers arguments ^v,,^,

(v„j, . . ., /ii, /i2, . . . étant des puissances de nombres premiers

ni = a«, /ij = b?, n^= et, . . - .

Prenons pour sv^^ le premier argument d'un groupe, pour sv^^ le premier argument d'un groupe, etc. , cela de toutes les manières. Nous aurons ainsi des arguments Wn appartenant à des groupes différents; car la condition

pr — rp'^o (mod/i), se décompose en

Pir\—rip\^ o (mod/ii),

P^r'i— r^p'^^ o (mod/ia),

FRAGMENTS UIYERS. 201

donl une, au moins, n'a pas Heu d'après l'hjpothèse. D'après cela: 1° Le nombre des groupes est

T(/i) = T(/iOT(/i2)...-/i(i-+-^-)(i4-^j..-.

2" Le nombre des termes du groupe est

o{n) = o{ni) ^(rii). . .= n( i - -^) y — Ij

3" Le nombre total des (r„ est

La fonction ^{n) est bien connue en Arithmétique, comme dénombrant les nombres premiers k n et inférieurs à /?.

Groupes composés.

A l'ensemble des arguments iVn on a souvent besoin d'adjoindre les divers arguments çpg, où 8 est l'un quelconque des diviseurs de n. L'ensemble de tous ces arguments compose celui des n^^^^* parties de périodes effectives ou non, dont le nombre est n^, si l'on y comprend l'argument zéro, correspondant à 8 = i . De là résulte l'égalité arithmétique

où 8 est successivement égal aux divers diviseurs de /i, y compris n et l'unité.

Semblablement, si au groupe (w^) on adjoint les produits des iVfi par les nombres non premiers avec /i, on obtient un groupe composé qui contient des n»^"«* parties de période non effectives, des fvg, fvg', .... Pour obtenir un argument (rg, il faut multiplier

par un nombre /Wi ^ > où m< est premier avec 8. Pour que cet argument soit obtenu une seule fois, il faut que m^ soit inférieur à 8, de telle sorte que — :^ soit inférieur à n. Du reste on obtient des arguments tous différents entre eux quand on multiplie iVn

par les nombres i , 'a, ...,/? — i . De là

relation arithmétique bien connue.

Mais, si Ton prend ainsi pour chaque premier argument «>« le groupe composé, les arguments «'5 se trouvent, dans l'ensemble, répétés plusieurs fois. Dans l'ensemble des T{n) groupes, il y a T(/i) cp(ô) arguments (vg. Comme le nombre des argument (vg distincts est seulement T(ô) cp(o), on voit que chacun d'eux est répété un nombre de fois égal à

Tin) nf I \ / j

a\ b\ ... étant les facteurs premiers qui entrent dans n sans entrer dans 3.

Soit, par exemple, ^ = 1 20 = 2'. 3 . 5, T(/i) ^== 288. Les w^ 0^ demi-périodes sont répétées chacune 96 fois, les iVz 72 fois, les w^ 48 fois, les çVio 16 fois, etc.

Gfrroupes cycliques.

Au lieu de multiplier un argument \Vn par les ^{n) nombres premiers à /i, on peut le multiplier par les puissances d'un tel nombre. On forme ainsi le groupe cyclique

comprenant des termes dont le nombre k est marqué par le plus petit exposant k (hormis zéro) qui satisfait à la condition

[ji* ^ I (mod n).

On sait, par le théorème de Fermât, que cet exposant k est égal à.cp(/i) ou à un diviseur de cp(/i). Si [x peut être choisi de telle sorte qu'on ait k^=o{n), le groupe ainsi formé ne diffère pas, sauf par l'ordre des termes, du groupe défini précédemment. Celui-ci est donc cyclique. Soit, au contraire, k < ?(^); les «p(/i)

arguments se répartiront en - , -groupes cycliques ; et l'ensemble

FRAGMENTS DIVERS. 2o3

de tous les arguments iVn formera T(/i) ' , = T^ (/i) groupes cycliques.

Théorème général sur les fonctions cycliques.

Arrivons maintenant aux conséquences algébriques de la répartition en groupes. Nous devons d'abord rappeler que les fonctions^, pour toutes les n»^'™^* parties de périodes, effectives ou non, sont les racines d'un polynôme t{^^(w), entier par rapport à l'inconnue

x = puj ou bien-!-^^ — / §{ n est pair. Dans ce polynôme, le terme

du plus haut degré en x est purement numérique, les autres entiers en g2 et ff^j et l'homogénéité y est respectée. Quand n est un nombre composé, ce polynôme est décomposable en facteurs

dont chacun, Ôg, a pour racines les fonctions p des arguments wpg, S étant un diviseur de n. Chacun de ces facteurs Og a aussi les mêmes caractères algébriques que ^n î le premier coefficient est numérique, et les autres sont entiers en g2 et g^. Supposons en effet qu'il en soit ainsi pour tout nombre composé de v facteurs premiers égaux ou inégaux, et soit n un nombre comprenant V + I facteurs premiers. Les diviseurs de /z, autres que n lui-même, ont moins de v + i facteurs; donc tous les ôg, où 5 << /^, ont les caractères énoncés. Mais on a

et le quotient de ^„ par IlOg, qui est un polynôme entier, aura les mêmes caractères.

On doit observer en outre que les iVn (sauf Tunique cas n = 2) sont deux à deux égaux et de signe contraire; car tv„ et — iVn sont en même temps des n»<^™«* parties de périodes, et sont distinctes, l'équation iVn"^ — ^Vn exigeant 2(v„ ^ o, ou iVn = demi-période. Les fonctions pwn sont donc en nombre ^(f{n)T(n).

Ainsi les quantités x = pwn sont les racines d'un polynôme 6rt(j:), de degré |^(p(/2)T(/i), dont le premier coefficient est numérique et dont les coefficients sont entiers en g^ et g^.

Corollaire. — Les sommes de leurs puissances semblables {à exposant entier et positif) sont des fonctions entières de g% et de g^.

Nous appellerons fonction cyclique toute fonction rationnelle des symboles p et p' appliqués aux arguments d'un groupe cyclique et en outre symétrique par rapport à ces arguments, et ne contenant aucune irrationnelle. Une telle fonction F a seulement Ti{n) valeurs. Elle dépend algébriquement de g2 et g^ : elle doit donc être racine d'une équation de degré Ti(n), à coefficients rationnels. Voici comment on peut, en effet, le prouver.

Soit fv l'un des arguments du cycle. Tous les autres sont des multiples entiers de iv; toutes les fonctions p et p' de ces arguments sont donc exprimables rationnellement par piv et p'iv. On a donc

(lo) F = A-i-Bp'«^

A et B étant rationnels en piv. Mais la fonction, étant symétrique, ne change pas quand on y remplace iv par un autre argument du groupe. On a donc, en désignant par F^, F2, . . . la même fonction avec les autres arguments et par v le nombre des arguments,

Fr-. ll^F-f-F, -+- ... -i-Fv-iV

Ainsi l'on peut mettre F sous la forme d'une somme de v fonctions, chacune d'un seul argument. La somme des fonctions F pour les divers groupes devient ainsi la somme de cp(/i)T(/2) fonctions, dont chacune contient un seul argument, et tous les arguments Wn s'y trouvent. Ainsi la somme des fonctions F pour

tous les groupes est égale à - SA, cette somme appliquée à tous

les arguments iVn; car la somme HBp'iv est nulle, les arguments

étant deux à deux égaux et de signe opposé. Donc enfin SF = - SA,

cette somme appliquée à toutes les racines j; de 0/|. C'est une fonction symétrique des racines de ô,,; elle peut donc s'exprimer rationnellement par les coefficients de ce polynôme, qui sont euxmêmes rationnels en g2 et ^3.

Ce qu'on vient de dire pour F s'applique aussi bien à son carré,

FRAGMENTS DIVERS. 2o5

son cube, etc.; donc S F'" est rationnellement exprimable en g^,

et ^3. c. Q. F. D.

Ainsi toute fonction cyclique est racine d^une équation algébrique j dont le degré est égal au nombre des cycles, et dont les coefficients sont rationnels en gy et g^.

On vient de reconnaître que dans 2F la partie impaire Bp'çr disparaît. Cette partie peut être écartée avant la transformation. En effet, F, exprimé sous sa forme primitive par les divers arguments, aura un dénominateur ne contenant que des symboles p. Or l'expression de pmw ne contient que pw; en la différentiant, on voit que p' mw est le produit de p*w par une fonction de pçv. Un produit de k facteurs p donne lieu à une fonction rationnelle de pw, multipliée par (p'w')^ ; ce dernier facteur est lui-même une fonction rationnelle de p^v si k est pair; mais il restera un facteur p'iv si k est impair. On devra donc distinguer les parties paires, comprenant un nombre pair de facteurs p', et les parties impaires; ces dernières disparaissent de la somme.

Par exemple, soit

(II) F = p'f pVip'po .-. ,

^, ^ij ^8,. . . étant des arguments du groupe cyclique.

Si le nombre des facteurs est impair, toutes les sommes de puissances impaires seront nulles : Téquation en F manquera de tous les termes de rang pair.

Théorème sur les fonctions cycliques entières.

Une fonction cyclique est entière quand le dénominateur, réduit à une fonction entière des symboles p seulement, est purement numérique.

Telle est la fonction (i i). Le théorème qui les concerne consiste en ce que Inéquation ^ = dont dépend une fonction cyclique entière a ses coefficients entiers en g^ et gz, le premier coefficient étant numérique. C'est la même propriété que pour les fonctions 0,j.

En effet, les coefficients de l'équation B,i = o étant entiers en g2 et ^3, et le premier d'entre eux purement numérique, les racines p(fv,i) de cette équation restent finies pour toutes les va-

leurs finies de g^ et de g^. Or les sommes des puissances semblables des racines de ^ = o, et par suite les coefficients de cette équation, sont des fonctions entières des quantités p(^Wn)' Donc ces coefficients resteront finis, quels que soient g^ et ^3, et seront entiers par rapport à ces quantités.

Sur le calcul de la fonction 0/t.

Les séries à double entrée fournissent un mojen de calculer les sommes des puissances semblables des symboles p pour le groupe complet des arguments Wn* Prenons le développement (10) de la page 369 du Tome I

et mettons-y pour u l'argument

•Xpiii -h TLD ta

On trouve, pour le terme général sous le signe sommatoire,

(2ra)-h ar'o) )!*-+-*

(r=p — nin, r' = p' — m'n).

Ainsi r et /' prennent toutes les valeurs congrues k p et p' suivant le diviseur n.

Si l'on prend les n^ — i arguments u qui sont des /i*^"®* de périodes effectives ou non, la somme des n^ — i séries analogues contiendra tous les termes où r, r' ne sont pas à la fois multiples de n. Pour avoir toutes les périodes, il y manque les termes

JLt (2r/ia)-t-2r'/ici>')l*-»-« "JLt wV^'

On a donc

Cette somme est nulle si [x est impair. En supposant [xpair = 2v

et

pU= -j -f-CiK*-|-CjU*-|-. ..-hCXtt*^-*-h...,

FRAGMExXTS DIVERS. 207

on a (t. J, p. 366) ,

Ainsi, en observant que chaque fonction p a été obtenue deux fois

Soient posés, pour le nombre /i décomposé en ses facteurs premiers

?(^(") = "K'-i)('-r.)('-cîi)

Si l'on fait la somme pour les arguments ^Vn seuls, on aura

(l3) 2 P*^(«'„)r:^1.2v!cp2v+2(/0Cv+l.

Effectivement: i° la fonction '^^^ jouit de la propriété qu'appliquée à tous les diviseurs de n^ y compris i et n, elle donne

nV-.

Pour le prouver, il suffit d'observer que Çijl(S) peut s'obtenir ainsi. Prenons les diverses suites

'^•'V (-,-,)' '='''^-"(-^,)' •••' '^K'-cîl)' •'

et formons le produit obtenu en prenant un facteur dans chacune des lignes. Ce sera un des termes Y(j.(8)- On, a tous les ^^(S) en prenant toutes les combinaisons analogues. DoncScpjjL(S) s'obtient en faisantla somme des termes de la première ligne, de la deuxième ligne, de la troisième, etc. et multipliant entre elles ces sommes. Donc le produit sera aV-^b^^c^y . . . = nV-,

2® Supposons J'égalité (i3) prouvée pour tout nombre rii ayant ^facteurs différents ou non, et supposons que n ait un facteur de plus. On a, dans l'égalité (12),

où 8, 8\ . . . sont les diviseurs de n, sauf n et V unité. Pour tous ces diviseurs, le nombre des facteurs ne surpassant pas k, l'égalité (i3) est supposée exacte. D'après la relation (i4)? ^^ ^^ conclura la relation (i3) pour n. Elle est prouvée pour le cas où n est premier, car alors les relations (la) et (i3) coïncident; elle est donc généralement prouvée.

Par cette relation, nous connaissons l'expression des sommes symétriques formées avec les dérivées d'ordre pair des p{{Vn)* On passera de là aux sommes de puissances semblables par les formules de décomposition des puissances de p en éléments simples (t. J, p. 2o3). On en conclura

Voici une formule générale pour ces sommes.

Soit

On a

f DwV«-^-l — — ! I- ^^ -4- -I- ^f" -u -1- ^"* ! A i-

On a d'ailleurs généralement

p(2X-2)^ = ^2l jlî ^(,^X-2)!CX-+-..,.

Par conséquent

Telle est la formule de décomposition en éléments simples, obtenue suivant les règles usuelles. On en conclut

Pour m =: 4^ on B.

Ao=i, Aj= 5cj, A3=5c3,

A4 = ÔC^-H IOC|, A5= 5C5-r- 2OCJC3 ...,