X- m 5t ( 5 — 2 1 v/23 ), A' = 2 ( 5 -4- 2 fc v
d'où résulte
G -= — 32. 1 1 -h 2.7. iç)it v/23,
Kr:=23(2.73/-H3tV*^)-
Il reste à trouver U. A cet effet, je prends ^ = f , ce qui donne
et, par conséquent,
TT'H = |S(S'G + SK).
Pour t = Ij nous avons
K= 23.3(73 H- tV'^),
S'G-t-SK = 2*.32(48n-ii.i7t/23).
igO TROISIÈME PARTIE.
D'autre part,
T:=3(!9-hiV23)=:|(5-tVÏ3)(3 -4-tv/23), T' = 3(21 — t/âs) - 1(5 - 3iVâ3)(3-4- t v/âs),
TT' = — ^ (1 1 4- otV'^)(3 -4- t/î^)',
Il vient donc
(i I -f- 5 1 /ÏS) H = 2*. 3»(48 1 -h 1 1 . 1 7 «Vâ3 ) ou finalement
H = 23.3*(7.ii — t/Î3) (' = !)•
Le changement du signe de t et de y/aS laisse inaltérés V et G, change R en — K, échange T et — T', ainsi que S et — S'; ce changement a donc pour effet de reproduire H, changé de signe. On a donc aussi
H= — :^3.3î(^.,,^iY.;^) (t=^l).
Par conséquent, pour / quelconque,
Comme vérification de ce calcul, prenons ^ = o, ce qui donne
— KV = 28.3*1/23, /
TT'H = 23.3*tV^, »
J'ai donc la formule cherchée, savoir
, H 2^.3(2.7.11^ — 3ev/23) tss = -^ z= ^-—^ . .— •
Mettant f = — > on la change en la suivante :
.««. , 23(01/23 — 3.7.11)1 (66) tss'= —^-^ ^^==^.
FRAGMExNTS DIVERS. I91
Remplaçant enfin c par son expression (46), j'en déduis, suivant (62),
— ^E" 21 /23-i-ii(^-i- A)
Prenant arbitrairement un coefficient de proportion, je poserai donc
j E = 2iv^-+-32-4-(8s/23-+-ii)(^-H A), (68) < E' = 2is/23 -32— (8/23 — ii)(^H-A),
\ E" = — 42/23 — ii{g -{- h).
Pour les deux autres fonctions P| et P2, les formules seront analogues, g -\- h étant remplacé par 8^ + O^A ou 8^^ + 8/i. Par les égalités (5o), il est manifeste que, dans ces formules, E'' est remplacé par E'^ ou E'^. Mais il reste à savoir dans quel ordre E et E' sont remplacés parEi et E'^ ou E2 et E'^. Pour ce but, supposant, dans le second membre (67), g -{- h remplacé par 8^ -H 8^/*, multiplions les deux termes par le conjugué du dénominateur, ce qui donne
[4 -t-(ô^ 4- 02 A) /Ï3] [21 /23 -+- 1 1 (ÔV -+- 0^)]. La partie imaginaire de ce produit est
(21.23 — 4-ii)(^ — ^)
le coefficient de i est positif. L'échange de E — E' en iii(E< — E'^) doit donc être fait de manière que, dans
El — E';
la partie imaginaire soit positive. En employant les séries ^, on trouve, pour la partie principale,
El — E'; if 21v^3 /q'j i-his/i^
L^, = — Ae 363 >
les autres termes sont sans influence sur le signe de la partie imaginaire : c'est le signe plus. C'est donc E"^ qui remplace E. Quant
ig2 TROISIÈME PARTIE.
à la fonction P2, ses éléments sont conjugués des précédenls. Ainsi, en passant aux fonctions V^ ou P2, on doit, dans les formules (68), remplacer g -h h par 6^ -h Ô^A ou par 8^^ +6A et, en même temps E, E', E'' par E'|, E|, E'^ ou par E'^, E,, E'^. Ainsi est pleinement achevée la solution du problème proposé.
Comparaison avec les résultats antérieurs.
Soit posé
Prenons V(<) V( — /), puis remplaçons t- par son expression en y, savoir
Nous obtenons ainsi, pour jk, l'équation
qui, étant développée, se réduit à
;fe)'-««fé)"-»(5
(^*est l'équation donnée, par le R. P. Joubert, dans les Comptes rendus de 1860 (1®'' semestre, p. 912). Sa résolution suffit, bien entendu, pour définir explicitementles fonctions cherchées, puisque l'invariant absolu est rationnel en t-. D'une manière générale, pour toute fonction elliptique, on a
(70) I p^^3 = aMr-2)(ï-^4y)S
en désignant par p un coefficient d'homogénéité, dont l'expression est
FRAGMENTS DITBRS. IqS
Ce coefficient p peut être pris ad libitum; aussi les invariants sont-ils définis par la seule quantité y, ou par t^. Mais, pour avoir les quantités e^ e', ^", sans nouvelle irrationnelle, il faut connaître t,
Semblablement, à l'égard des trois fonctions répondant à Tordre proprement primitif, la connaissance de y suffit aussi pour définir les invariants. Effectivement, en prenant la transformation du second ordre qui fait passer de jd à P, ainsi que la transformation inverse, on a les deux relations
^ ^{e—e'){e-e'') E-E^ ^ y/ÇE'-^ E) (K^- E^) e' — e'
iw
et, en posant encore
on en déduit la relation, bien connue,
Prenant maintenant les formules (70) y mettant des lettres majuscules, au lieu de ^2î ^.1» JK^ • • • ^ puis remplaçant Y par
-^ ei y par son expression en fonction de c^, on trouve
X2G,r.3(4cî-i-'27), X3G3-^c(8c^^-8I), À«A =36(c2-f-9);
le coefficient X a Texpression suivante
SïE"
4c(E*'— Ë^CE"— Ë')
