MM

Soit M" le second point de rencontre de TM avec le cercle. Portons de même sur la tangente TM, à partir de T, la longueur

A.ToMo

(0 Qui se démontre ainsi : soient en coordonnées rectangulaires A = o, B = o, C = o les équations des trois cercles. La communauté de Taxe radical s'exprime par l'identité A = Xn + jxC, X et (x étant des constantes. D'ailleurs B et C sont les carrés des longueurs des tangentes menées d'un point aux cercles B = o, C = o. Si donc ce point est sur le cercle A = o, l'égalité B : C = — ;x : X prouve le théorème.

mais en ajant soin de la porter seulement dans un seul sens, celui

même de TM. Le lieu du point /i, soit la courbe (c), est fermé et

convexe. Cette courbe est extérieure au cercle c.

Considérons Taire comprise entre le cercle c et la courbe (c), à

partir de la tangente ToAIo^ et décrite par une tangente mobile ïn

tournant autour du cercle. Avec les mêmes conventions qui ont été

faites relativement à la courbe (C), cettenouvelle ajre prend toutes

les valeurs depuis — oo jusqu'à 4-00 . L'aire (c) décrite, à partir

de T0/I07 par une tangente mobile T/iM correspond, en vertu des

conventions et sans aucune ambiguïté, avec Taire (C) décrite

par le rayon vecteur CNM correspondant. Ces deux aires sont

nulles ensemble. Il va être démonlré qu^ elles sont équivalentes.

Soit

aire /loToT/i

«. = — ji —

Soit aussi 0| l'angle de TM, compté dans le sens convenu, avec CMfl. La dérivée de la nouvelle aire, par rapport à 6|, est ici encore

Donc ^

dui TqMq

Désignant encore par a'^ et 2cp" les angles MOM© et M"OxMo, on a, exactement comme dans le cas de la courbe (C),

rf^ JTM ^Ô, MM' d^' '~ TM"' d^ ~ TM"'

De là résulte semblablemcnt

et, puisque Ton a

il en résulte

do TM , ^ du^ TqMo

-î2 = dna, du

diit

= i et Ml = a;

du

car u^ est nul avec u.

Par ie point IVF, menons maintenant la seconde tangente JVr'T''

^ 7tn^ m"' U •' c^'^^-'î. ' ^<c -^^

^<L<,^^^ i.^* C<<<: . Je ^C* J ^ < '/f :. ^ . -«•*'* ^ '^>

tfj- .. / .. y. y ., /

CHAP. I. — FOiNCTIONS ELLIPTIQUES A DISCRIMINANT POSITIF. l3

du cercle c. Son point de contact ï" est celui qui correspond à M", d'après les conventions. Mais, les deux tangentes IVr'T et WT' étant égales, la relation

donne celle-ci

TM """TÂP

Soit u" l'argument qui correspond à M'', comme u correspond à M; on a

d^ du d^' du"

Par suite

du = du" ,

Dans le cas de la courbe (G), où le cercle c se réduisait au point C, le point M" était remplacé par M', et l'égalité rf// = rfw' avait lieu aussi. Il n'en a pas été parlé; car il était alors évident, à cause de la symétrie de (C), qu'on a

Ici la différence w" — u est encore constante; mais cette constante n'est plus égale à K. Il suffit d'envisager la position initiale de la tangente Mo ToMq pour reconnaître que cette constante est l'argument w* qui correspond au point M^. Par conséquent :

Sic est un cercle intérieur au cercle O, avant avec ce dernier et le point C même axe radical , et qu^on mène dans le cercle O une corde variable MM" tangente au cercle c, les deux points M et W correspondent à des arguments u et u" dont la différence est constante.

• Ce théorème est dû à Jacobi.

Au lieu de porter les longueurs ï/i sur les tangentes dans le sens opposé à celui delà rotation positive, on peut les porter dans le sens de cette rotation; alors le point M'J, est au-dessous de la ligne des centres, et u\ est supérieur à R.

At^^ C^i^<^C^( /^^^"-^ ^^^""^ -^^ ^^^ *^ ^ ' ^^^^ ^ l4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Digression sur les polygones de Poncelet.

Supposons qu'uQ triangle de sommets MM|M2, placés dans cet ordre pour le sens de rotation positif par exemple, soit inscrit dans le cercle O et circonscrit au cercle c. Les arguments des trois sommets seront successivement w, u-\-u\^ w + 2w]^, et, puisque la corde M2Mest encore tangente au cerclée, Taire de la courbe est décrite complètement, et Targument qu'on obtient en revenant au point M a les deux expressions

a-+-aK et u-^Zu"^, Donc

Ainsi le cercle c n'est pas un quelconque de ceux qui ont, avecO, Taxe radical donné. Il est déterminé par cette condition que le

point M^ réponde à l'argument -— • Gela étant, chaque point M

du cercle O sera un sommet d'un triangle inscrit au cercle O et circonscrit au cercle c.

Au lieu d'un triangle, supposons un polygone de/? côtés, inscrit dans O et circonscrit à c. Admettons, en outre, que ce polygone, s'il est étoile, se recouvre lui-même q fois {q = i pour un polygone convexe). Si u est l'argument du premier sommet, on retrouvera, après avoir décrit le polygone dans le sens positif, pour nouvelle détermination de cet argument, les deux expressions

// + 2grK et u +/?w^. Donc u\ = -^ • De là le théorème de Poncelet :

Si deiix cercles sont, l'un inscrit^ l'autre circonscrit à un polygone fermé y il existe une infinité de polygones, ayant pareil nombre de côtés, à la fois circonscrits au premier cercle et inscrits dans le second.

Construction pour l'addition des arguments.

Sur le cercle O {fi g* 4)> prenez le point A répondant à l'argument a, et tracez le cercle c, tangent à MqA, ayant avec O l'axe radical donné, et intérieur à O, ce qui se peut faire d'une seule ma-

CHAP. I. — PONCTIONS ELLIPTIQUES A DISCRIMINANT POSITIF. l5

nière (*). Prenez le point B répondant à rargument 6, et menez, par ce point B, Tune des tangentes au cercle c, savoir celle qui du point de contact au point B est dirigée dans le sens négatif ou dans le sens positif, suivant que A est au-dessus ou au-dessous de la ligne des centres (sur la figure, A est au-dessus, et la tangente

Fi». 1.

SB est dirigée de S vers B dans le sens négatif de rotation). Prolongez cette tangente jusqu'à la seconde rencontre en D avec le cercle O. Le point D répond à rargument (a-^ b). C'est, en effet, ce qu'indique le théorème de Jacobi. Les lettres A, B, D, h, a remplacent ici M]^, M, M", w, u^,^ ^

La représentation de am u par un point M du cercle O renferme un défaut ; un même point M correspond à tous les arguments qui diffèrent par un multiple quelconque de aK, tandis que ^x\u et cxïu restent inaltérés seulement quand on ajoute à l'argument un multiple pair de 2K. En second lieu, l'argument u^^ designé maintenant par a, est supposé, d'après l'analyse précédente, compris entre zéro et 2R. Quand, tout à l'heure, nous passerons de la construction aux formules, il faudra avoir égard à ces circonstances. Mais, sur la figure, ces circonstances n'ont aucune influence; elle reste inaltérée quand on attribue à l'argument d'un

(') Prolongez M^A jusqu'à la rencontre avec l'axe radical en U; par R menez la tangente au cercle O, et prenez, à partir de R, sur RAM^, du côté où se trouve A, une longueur égale à cette tangente. Vous obtenez le point de contact du cercle c. ^^^ iU\rt<fl^. IUuî ^Htr^* ^-^ fo ,^tH(<t^--f ^•C *»< ^i- f' ■ -' ^ *.

il^.

l6 PREXIËftE PARTIE. — TUÉOHIE.

point, sur le cercle O, des valeurs qui difTèrent par un multiple (quelconque de aK.

La construction précédente, dissymétrique par rapport aux arguments a et & qu'on additionne, peut être faite aussi dans l'ordre inverse; le résultat ne sera pas changé. Par conséquent, si l'on mène le cercle C|, tangent à MuB, toujours intérieur à O et avant avec O l'axe radical donné, et qu'on mène par A la tangente à ce cercle c,, en observant les mêmes conventions que précédemment, cette tangente passera au point D. On aura ainsi un quadrilatère M» ADD dont deux câtés opposés Mg A, DB sont tangents au cercle c, et les deux autres MoB, AD au cercle C\. De là un théorème de Géométrie élémentaire (').

Le point D représente la somme des arguments représentés par A et B. Par suite, A représenie la différence des arguments relatifs à D et B. On a donc encore une liaison analogue entre les points D, A et le point B* symétrique de B par rapport à la ligne de^ centres; ce point représente, en effet, l'argument — b : étant tracé le cercle c^, langent à MgD, et élant menée à ce cercle, par le point B', la tangente d'après les conventions admises, cette tangente passe au point A. Si, de même, par le symétrique de A, on menait la tangente à Cj, cette droite passerait au point B. "

Formules d'sddition.

Une seule équation suffit évidemment à traduire la relation qui existe entre les trois points A, B, D ; par conséquent aussi à fournir les trois formules d'addition pour les trois fonctions elliptiques. C'est ce que rend évident la considération des égalités

d'où l'on peut tirer deux des fondions quand on connaît la troisième. Mais, en suivant la voie qui s'indique ainsi, on introduirait Js^ ^ des ambiguïtés avec les radicaux. Pour les éviter, nous conclurons des constructions ci-dessus trois égalités.

Afin de faire disparaître toute incertitude, supposons d'abord

(') l'n quadrilatère élant inscrit dans un cercle O, si l'on mène un cercle r Langent à deui cùtiïs upposés, cl un autre cercle c, tangent aux deux autres ciités, ayant, en outre, son centre en ligne droite avec les centres des deux autres cercle», les trois cercles ont, deux à deux, miimc axe radical.

a et 6 compris, tous deux, entre zéro et K; alors rf =: a -4- 6 sera entre zéro et 2R. (Dans la figure, d est entre K et 2K.) Les amplitudes de a, by rfsont, toutes trois, comprises entre zéro et 7:; leurs sinus, c'est-à-dire sna, sn6, snrf, sont positifs. Comme Pamplitude de a est le demi-angle mesuré par l'arc Mo A, on a

2 R sn a = Mo A ;

chaque fonction sn est représentée ainsi par une corde.

On devra se souvenir aussi que la fonction dn est toujours positive. Pour chaque cercle, tel que c, dn u est le rapport des tangentes menées à ce cercle du point qui représente u sur le cercle O, et du point Mo- ^ ••* c • ^ •

Marquons le point de contact de chacune des tangentes précédemment menées aux trois cercles c, Ci, c^, et par le moyen de ces tangentes exprimons, de toutes les manières possibles, dna, dnfr. And, Des égalités ainsi obtenues, nous tirerons les formules cherchées.

A chaque cercle, on a mené deux tangentes dont l'une part de M©; soient T, T|,T2 les points de contact des trois tangentes menées de Mo aux cercles respectifs c, C|, Ci'i elles aboutissent respectivement aux points A, B, D. Soient S, Si, Sa les points de contact des trois autres tangentes, les indices correspondant à ceux quidistinguentles trois cercles: SestsurBD,S| surDA, SaSurAB'.

Il y a encore une tangente MoB' menée au cercle C|, mais on n'aura pas à la faire intervenir. La dissymétrie provenant de ce que la droite ASj passe par B', et non par B, disparaîtra des formules; les fonctions dn coïncident pour B et B' qui répondent à des arguments égaux et de signes contraires.

Par A passent trois tangentes, de même par D; il en passe deux par B et une par B'; de là trois expressions pour chacune des quantités dna, dnè, dnrf; les voici rangées suivant l'ordre des indices des trois cercles c, c^j c^'"

^^"" TMi ~ T,Mo ~ t,Mo'

- ^ - Zl2L - ^^^'

TMo ~ T7m"o ~ tj.Mo'

TMo "" TiM^ ~ t,Mo' I. 2

Des trois rapports situés dans la diagonale de ce tableau, déduisons d'abord

, MoA

l-hdDÔ = îsrirr' liMo

j -hdnd =

MqD T,Mo

Dans chaque couple de lignes du tableau, il existe deux, rapports dans lesquels les segments, en numérateur, ont la même extrémité S, Si ou S2. En ajoutant les égalités correspondantes membre à membre, nous avons

Ai A ^ ^^

Ti\lo

dna H- dn a =

dna -4- dn 6 =

T,Mo T21M0

Divisant membre à membre chacune de ces dernières égalités avec celle qui occupe la place correspondante dans la série précédente, nous obtenons