dna ~" MoA
dn</-h dn a DA i-4-dn6 "" MJÏ '
dna-f- an b AB'
On a déjà observé les égalités
MoA = 2R sna, MoB = 2R snô, MoD = 2R sn^.
De môme BD est le produit de aR par le sinus du demi-angle que mesure l'arc BD ; ce demi-angle est égal à (am rf — ami), non seulement en grandeur, mais en signe, d'après les hypothèses. Donc
BD = 2R sin(am d — am^) = 2R( sn rf cn^ — snb end).
De même
DA = 2R(snrf cn« ^ sna cn^).
*^^^ ' - JZ./^ j:^^*^ ^O'^^ 4» - ^^'^•^^ ^ )
CHAP. I. — FONCTIO:fS ELLIPTIQUES A DISCRIMINANT POSITIF. Kj
Pour la corde AB', elle s'évalue d'une façon analogue, si Ton attribue à B' l'argument (aK — 6), qui, suivant les hypothèses, est supérieur à K et, par suite, supérieur aussi à a. D'ailleurs
sn('2K — ^) = snô, cn(2K — ^) = — cn^;
on a donc aussi
AB'= 2R(sn6 cna -4-sna cnô).
Voici donc les trois formules cherchées
dn 6 -T- «In rf sn ^ en ô — sn 6 en £^ i-hdna su a
dn rf -+- <ln a sn rf en a — sn a en ^ i-+-dn6 ~~ ^\\b
dn a H- dn ^ __ sn ô en flr -u sn a en ô I -;- dn d %\\d
traduisant la relation
et démontrées si a et 6 sont compris entre zéro et K.
La dissymétrie de ces formules disparaît si l'on remplace d par un autre argument c, en prenant
m étant un nombre entier positif ou négatif; on a alors ^
dn</ = dnc, sn û? = ( — i)"*^"*snc, en ^ = ( — i)"* cnc,
et les formules sont les suivantes :
dnô-i-dnc , . , sn^ enc -i- snc en^ I -i-dn rt sna
, , ,dnc-f-dna , .^, snc cna -t- snrt ene
(lO) \ j— ï— = (—!)'«■+-» -. ,
^ ' ' j-Hdn6 sn6
dnflr-ndn^ , , , sna en 6 -+- sn/>> en «r i-Hdnc snc
entièrement symétriques, et traduisant la relation (ii) « -f- 6» -i-c = 2mK.
Elles sont démontrées jusqu'à présent avec une restriction sur a et 6. Mais d'abord, si l'on change a, 6, c en — a, — 6, — v
Ni
Vf ^
et m en — m, les deux membres de chaque formule (lo) restent inaltérés, et la condition (ii) est toujours satisfaite ; donc les formules subsistent si a et 6 sont compris entre — K et K. Si l'on change a en a + a/îK, b en 6-|-2/i'K, n et n' étant entiers, et qu'on change aussi m en (m — n — /i'), les deux membres de chaque formule (lo) et (i i) restent inaltérés. Donc les formules (io) sont démontrées en toute généralité, quels que soient les arguments a, 6, c, vérifiant la relation (i i).
On peut déduire des formules (lo) une foule d'autres, parmi lesquelles il convient de remarquer celles qui sont résolues par rapport aux fonctions de l'un des trois arguments. On peut obtenir ces dernières en considérant les équations (lo) comme trois équations simultanées du premier degré en sna, en a, dnaet les résolvant. Mais on parvient plus rapidement au but en adjoignant aux équations (lo) d'autres qui s'en déduisent.
Pour abréger, écrivons simplement s, c, d au lieu de sna, en a, dna, et employons les mêmes lettres affectées des indices i et a pour snfr, . . . , snc, .... Les deux identités
donnent celles-ci
sn'M -i- en' M =
A* sn*a-r
dn'a =
5jC|H-5iCj
di-
rf.
di-i-dt ~
k^{SiCi-
Ct)
Faisant, en outre, ( — 1)"*+* = s, nous concluons de la première formule (10)
I — d ^ 5j C| H- Ji Cl
dt
t d\ — di A:* StCi — 5iCj
di — df
et, en ajoutant ces dernières membre à membre,
s \ di-h dt di^dt /
CHàP. !• — FONCTIONS ELLIPTIQUES A DISCRIMINANT POSITIF. 21
Réduisant au même dénominateur et remplaçant rfj — dl par 'a-2(5J — 5Î), ona
cî et
S\Cidi — SiCidi Divisant membre à membre les égalités (12), on obtient
i — d " (stCi-T-SiCt){di—dt) elf par suite.
Des égalités (12), nous concluons aussi
eA*5(5jCi-H5iCj) = (i — d){dx-r-dt),
et, en ajoutant membre à membre,
(i5) eA-*WtC| = €^i — d^d.
En changeant les indices, nous pouvons écrire encore
zk'^SxSiC = d — dl dt\ puis, substituant l'expression (i4) de d^
, diCiS*— d^CiSi (10) c = 6 -j J-.
On écrit d'habitude les formules (i3), (i4) et (i6) d'une manière un peu différente, en multipliant les deux termes de chaque fraction par 51^2^2 + s^Cidi»
Par suite des relations
on a
s\c\d\-s\c\d\=^{s\-s\){i-kU\s\),
(sidiCt — SidiCi)(siCtdi-^ SfCidi) = {s} — sl)(didi— k^SiSfCiC%),
(diCtSt— dtCiSi){SiCtdt -r- SiCidi) = (s\ ^ sl)(siSididt — CiCt)>
Au lieu de (i3), (i4) et (16), on peut donc écrire aussi
(lUis) ^^^SiC,d,-^-S,C,d,^
('^*'*> ''^ ,-krs\sl '
/.Ai;/.\ ^ CiCi—S\Stdidt
Pour avoir les formules d^addition, supposons nulle la somme a-i-b-\-Cf par suite e = — i; puis changeons a en — a, c'està-dire simplement 5 en — s^ et nous obtiendrons
,, - snb cnc âne -^ fine cnb dnb sn(o-+- c) =
(17) \ dn(6H-c) =
■k* sn*6 sn*c
en
b cnc -
— snb snc do
6dn
- A* sn»6 sn'c
dn
b âne
— A* sn6 snc
cnô
cnc
^ ^ I — A» sn* o sn* c
Ce sont là les formules dont on fait usage d'habitude; mais les formules équivalentes (i3), (i4) et (16) sont tout aussi bonnes.
Parmi les nombreuses combinaisons que l'on peut faire entre les formules ci-dessus, il convient de remarquer l'égalité (i5), à cause de sa simplicité,
dn a — ânb dn c = ( — r)'»-»-* A* snb snc sna;
elle a lieu sous la condition a-h t-f- c = 2mK, ainsi que les deux autres qu'on en déduit par permutation des lettres a, 6, c.
Si l'on y change b en 6 -+- K, et c en c + K, m en (m — 1)? et qu'on emploie les formules d'addition de la demi-période (8), (8a), (86), on en déduit cette autre, non moins remarquable,
dna ânb âne — A'*= ( — i)*» A* en a en 6 cnc; (a -f- 6 h- c = 2/wK).
Si, dans la même formule,
d — didi= £A*5i5jC,
on remplace rf| ^2 par son expression tirée de (i4 bis), on obtient cette autre, tout aussi simple,
te = SiSfd — C|Cj, c'est-à-dire
(—1)'» ena = cn6 cnc— snô snc dna; (aH-6-4-c = 2/nK),
et, si l'on change 6 et c en 6 + K, c + K, m en (m— 1),
(__i)m+i sna dn6 dnc= A' sn6 snc— p en 6 cnc dna;
il y en a d'autres encore, qu'il est inutile de rapporter. L'une quelconque de ces dernières, présentant, comme une quelconque des formules (10), le double caractère d'être du premier degré par
CIIAP. I. — FONCTIONS ELLIPTIQUES A DISCRIMINANT POSITIF. 23
rapport aux fonctions d'un môme argument, et de valoir, à cause de la symétrie, trois formules à la fois, peut servir à retrouver les formules d'addition.
Toutes ces formules, intéressantes par elles-mêmes, seront utiles aux personnes désireuses de lire les anciens ouvrages, et notamment les Œuvres de Jacobi. Mais nous ne nous en servirons jamais, et, pour la seule étude de ce livre, il est inutile de chercher à les retenir. Il est aussi superflu d'examiner longuement les propriétés <[ue nous venons de reconnaître aux fonctions snw, cnw, dnw. Ces éléments vont désormais être relégués au second plan, et faire place à un élément nouveau, la fonction j)£/, introduite par M. Weierstrass. (Dans le langage, on prononce séparément les deux lettres ;c?, m).
La fonction p u. Sa définition déduite de celle de sn a.
D'après les expressions (9) des dérivées, les trois fonctions elliptiques nous apparaissent comme ayant la propriété commune que le carré de leur dérivée est exprimable par un polynôme du quatrième degré par rapport à la fonction. Ainsi
f —i — ) = cn«p (ln*p = I — (iH- A*) sn*p-4- A* sn*p.
(^es polynômes sont d'ailleurs bicarrés.
Par une transformation simple on peut en déduire d'autres fonctions, ayant une propriété analogue : le carré de la dérivée est un polynôme du troisième degré par rapport à la fonction. Cette transformation consiste à poser, en désignant par a une constante et par z la nouvelle fonction,
sn*p =
On aura, en effet, d'après (4) et (6),
d sn* p __ \ dz
dv ~" (a-T-^)* r/p'
, v^(>5 -h a ) ( ;; -i- rt — I ) ( .5 -4- « — X* )
^sn*p
dv
= 1 sïiv cnv dnr. *
/ dz\^
Parmi ces fondions 5, il est naturel d'en choisir une, pour laquelle le polynôme du troisième degré présente une forme réduite. Choisissons donc la constante a de manière que le terme en jsmanque dans ce polynôme (la somme des trois racines est alors
nulle); ainsi
Mettons en évidence les trois racines^ rangées par ordre de grandeur,
2 — A* , . 2 A:* — I 1 -+- A:* £, = ! — a= — - — j e,= A:* — a= x > ej = --a= ^ — ,
Ces trois racines, dont la somme est nulle, dépendent de la seule quantité k^.
Pour faire en sorte qu'on puisse prendre deux racines arbitrairement, introduisons une nouvelle constante \ et posons
Nous aurons alors
Dans cette relation, e^j ^2, ^3 sont trois quantités réelles, dont la somme est nulle :
€i>ei>ez, e, -ne, H- es = 0;
elles sont d'ailleurs arbitraires. La fonction y de la variable «, ainsi déterminée, sera désignée par la notation pu. C'est elle qui, désormais, jouera le plus grand rôle. Actuellement, elle s'offre comme dépendant, non seulement de Vargument w, mais encore de deux constantes, suivant la formule, déduite des précédentes,
X sn»-7^
Voulant la considérer comme dépendant de l'argument u et des
constantes ^i, 62, e^-, nous n'avons qu'à exprimer k^ et X par ces dernières. C'est ce qui se fait ainsi
X = ^*~^' = ' i.j g» — ^s gî — gs .
Cl — €3 €1 — e^ Ej — 63 Cl — 63'
à quoi l'on peut joindre
ei — e^
Invariants fftj gz- — Discriminant A.
Aussi bien que par ses trois racines, le polynôme (18) est caractérisé par ses coefGcients, que nous désignerons par g 2 et ^3,
ei-hei-f-g3 = o, exet-^etCi-^ezey = — |^,, exc^e^^i^g^, e\ -+-cî-+-eî =(«1-4-^1-4-63)' — 2(ei^,-+-eiC,-Heje,) = ^^,.
Ces deux constantes g^^, gz tiennent lieu de k- et \. On les appelle les ini^ariants. Elles sont ici soumises aune condition d'inégalité pour que les trois racines soient réelles. Cette condition, comme on le sait, par les éléments d'Algèbre, consiste en ce que le discriminant A,
A = ^J — 27^î = i6(e, — ej)*(eî — g3)'(gj— gi)*»
soit positif.
Les deux invariants g2f gs seront rappelés dans la notation quand il en sera besoin; on écrira alors p{u;g2j gz) au lieu de j3w, de même qu'on écrit, quand cela est nécessaire, sn(w, Â) au lieu de snu.
Les racines ei, e^y e^.
Les trois racines ^1, ^2, ^3, dont la somme est nulle^ sont, comme il est entendu, supposées rangées par ordre de grandeur ^1 > ^2 > ^3î en sorte que et est positif, e^ négatif. Quant à ^2, cette racine est positive ou négative ; elle a le signe opposé à celui de giy comme il résulte de la relation
^ieî«3 = |^8.
tA
Le signe de e^ est aussi celui de {k^ — f^^)\ car on a
Xî— A'* =
€m — ^3 Ci Ct
3tft
Cl — Cl Ci — Cl Ci — Cl
D'ailleurs k'^ — k^'^ = aA'-^ — i; donc €2 est négatif, ^3 positif, quand k^ est inférieur à 5; au contraire, 62 est positif, g^ négatif, quand k^ est supérieur à ^.
En remplaçant X par son expression
ei — e^
dans (19), nous
iivons
(ao)
vS •
f ^ AA
pu = ei
Ci — ^3
sn'
Le dénominateur variant toujours entre zéro et l'unité, pu varie entre l'infini positif et e^. Ainsi la seule racine e^ est une des valeurs que peut acquérir j3w, et c'est le minimum de pu, qui prend successivement toutes les valeurs entre e^ et l'infini positif.
La période 20).
La fonction pu est paire, comme le montre la définition (19); car, ayant sn{ — 1^)= — snp, on en conclut p[ — u) = pu. Elle a une période que nous désignerons par 2(0, et qui n'est autre que
2 KyA. Ainsi
= Kv/X =
\/ei — Ci
c, = pa), p(ama) d= a) = pM.
Dérivées de pu.
La dérivée de pw sera désignée par jj'w; c'est une fonction impaire, ayant aussi la période 20)
p'(2/W(«) ih m) = dr p'a.
Elle est liée à pw, d'après (18) et (18 a), par la relation
(2i) (p'm)« = 4p'w — ^t pu — g^- i(pu — ei)(pu^et)(pu'-ez).
Les dérivées successives ont toutes la période 20); elles sont alternativement paires et impaires, et se calculent facilement par diiTé-
CHAP. I. — PONCTIONS ELLIPTIQUES A DISCRIMINANT POSITIF. 27
lentiatîon de (21)
p'u = 6p*a— \gt,
p'^u =\ipu p'u,
p'V£« = i2(p'M)»-4-i2pa p'a= i2(iop5a — 1^, pa — ^3),
Dégénérescence de pu.
On a vu que les fonctions elliptiques dégénèrent en fonctions circulaires ou en fonctions exponentielles quand k converge vers zéro ou vers Tunité. Ces deux circonstances ont lieu, la première, quand 62 va coïncider avec ^3 ; la seconde, quand €2 va coïncider avec Ci. Dans Tun et Pautre cas, le discriminant A devient nul. Il ne peut d^ailleurs devenir nul autrement, puisque ^i, e^ sont séparés par zéro, sauf le cas limite et= ^2= ^3= o qui sera examiné tout à l'heure.
Ainsi deux modes principaux de dégénérescence : dans le premier A*=o, ^3 est positif, e^ coïncide avec e^; dans le second A* = I , ^3 est négatif, 62 coïncide avec Ci,
Dans le premier mode, on a
e, = c, = — le,, ^, = 3eî, ^3=«i, A = ^3— 27^1=0, À = -2- = 5 — , A' = 0, snu = siDu,
^3>0, pU = — -^- -h
sin«Ml/2£' Dans le second mode, on a
Si
e, = ci=- les, ^î=3e|, ^3 = ^3,
Enfin, troisième mode de dégénérescence, si e\^ (?2j ^3 tendent ensemble vers zéro, il en est tout autant de g2 et ^3, et le rap-
PREniËRE PARTIE. — THÉORIE.
port ^^ est infiniment petit du même ordre que e^. On a alors
ei = e, = «s = o, ^j = ^3 = o, o) = 00 , pa = ~
Homogénéité.
Si, dans la relation (19), on remplace ueiX par -^ et -» u étant
une constante positive quelconque, et, en même temps, pu par [jL j3£/, cette relation reste inaltérée ; mais, en même temps, ^i , e^, e» sont remplacés par [^.e^y [t.e2^ p-^s* On a donc une relation d'homogénéité
de même
Addition des arguments.
De la formule (i3) on déduit aisément celle qui convient à Tad dition de l'argument pour la fonction pu. Écrivons-la ainsi
I €\dl
\ c\d\ Cxd\ Cfdi
Mettons de même p, p^ p2 pour les fonctions p des trois argu inenls. Nous concluons de l'égalité (20), d'après (4) et (6),
Xpi-+- Xpi-f.
HP^ = X(p,
= Atp,
Ci^l
— — t^ Pu
X(Pî— es),
X(Pî— «i),
X(pî— e,),
jA Pj.
En substituant, on voit disparaître X, et l^on obtient
,,^ (Pi— g3)(P» — gi)(Pî— gOH-(ji»— e3)(Pî — gi)(pt— g») — ?)>'i P'i ^ ''- (Pi -P.}*
P^PtPÎ-^P«P?-i^a(Pi-^P»)— U3— jp^p; ^ (Pi -Pi)*
Mettant les arguments en évidence, nous avons la formule cherchée
(23) ^^u^,)^'^iî^^P^-\^^)iV^-^?^)-^^-P'^P'^.
^ ' *^ ' 2(pa — p«^)* '
mais an peutTécrire aussi sous une forme qui se fixe mieux dans la mémoire
Mettons p = «, , w + p =: — u^^ et écrivons la formule ainsi / ) ï /p'" — p'wi\'
'r^. ' pu -h pui •+- nWj = - ( ] 7 U-i- Ut-\- Ui = o.
4\P"— pwi/
Cette relation a lieu entre trois arguments dont la somme est nulle.
Echangeons entre eux u, u^^ u^ au second membre et concluons (jue les trois rapports
p'u — p'U\ p'Uf — p'Uf p'Ui — p'u
pu — pui pui — pUi puf — pu
ne peuvent différer que par les signes; mais, si Ton avait
p'u — p'mi __ p'ut — p'w»__ . p'w» — p'w pu — pui pui — puf ~~ pUf — pu
on déduirait, en combinant les deux premiers rapports,
p'u — p'uf -i-P'*« — P'^ pu — 2pui-i- put ~" pui—pu
pUi — pu=^qz(pu — ipui'^pui)y
relation évidemment impossible. Les trois rapports sont donc absolument égaux, ce qui, d'ailleurs, entraine une seule équation; car le troisième rapport a pour termes les sommes des termes des deux autres. Ainsi la relation
W -A- Ml -h Mj = o
3o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
est traduite par les égalités
l p'u — p'iit __ p'ut — p'ut __ p'Uj — p'u __ ^ (25) ) pu — pui pui — pu^ pui — pu'^ *
Ces formules, extrêmement simples, sont celles dont l'usage est Iv plus fréquent.
Voici encore une autre forme intéressante ;
p(w-4-i') =pU r- ( = '— ) =pv 3- (^- = ),
'^ iôu\pu — pv/ ' '1 ov \pu — pv /
•^ 2 cil/ ()v \pit — p r /
On retiendra encore mieux ces formules (aj) en observant l'interprétation suivante :
Soient a y b deux constantes données, et supposons qu'on cherche à déterminer // par l'équation
a pu -r- ù .= p'u.
On en tirera une équation du troisième degré en pu^
ayant trois solutions p;/, P^i^ p^2* Par l'équation proposée, on aura trois quantités correspondantes p'//, p'u^, p'u2 sans aucune ambiguïté. De là résultent
a pu - - b — p'u a pux — b — p'uiy a pui-h b = p'ui.
En éliminant 6, on conclut l'égalité des trois rapports (aS) cl de la constante a; puis, en prenant la somme des racines de l'équation du troisième degré, on obtient la seconde égalité (aS). Ainsi la relation
U -i- Wi-+- «j = o
est traduite encore par ce fait que ?/, «i, U2 sont solutions de
l'équation
a pu -h b = p'u.
C'est là un cas particulier d'un célèbre théorème dû à Abel, el dont nous parlerons au Chapitre VII.
GHAP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. 3l
