CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES ^. a8l

Observations sur les cas particuliers où ^ a les valeurs

Il n'est gvière possible de ne pas s'arrêter un instant pour signaler les cas particuliers que nous venons de rencontrer, et réunir les formules où la transcendante numérique e^'^ joue un rôle si curieux. C'est l'égalité (60)

qui se recommande d'abord à notre attention. Nous avons trouvé qu'elle est vérifiée de ces trois manières

10 l = j— avec q=^e-'^;

/ = i(v/2 — i) avec q =z ie

30 / = i\2v/5H-/3 — 1 — /s) avec q = ie ^

La formule

71» 1 — 3»<y«-i- 5»yfi— 73<yi«-t-...-f- (— i)^(2m -\- iYq'»^"'-*-^K.,

n'est pas moins intéressante dans ces cas particuliers. Dans le premier, on a

(I)' = 10), 7j' = tT), tjo)' = — Tj'o), Tjw' — T)'a) = 2«T)a) = — ;

par conséquent

'^ 1° 7)0) = - avec q = c~'^.

Dans le second, nous aurons de même

a>', = 10),, r/, = -ttij, 7),a)', = — tijWj, 7),a>', — TjjWt = 2iT),a>,= iir;

par conséquent

Tt . --7Z

2? 750) = — avec g = le * .

Dans le troisième cas, ainsi qu'on l'a déjà vu au Chapitre III

28a PREMIÈRE PARTIS. •— THÉORIE.

(p. 83), en désignant par 0 une racine cubique de Puni té

on a d*abord

Les relations d'homogénéité, en ce cas particulier, donnent, sans changement des invariants {g2 étant nul),

7)3= ;o>3= — ;(0«a),)=— 6;u), = — Ot,„

— = T), 0)3— 7)30)1 = (6 — 6*)T,,a)2= i^^T^itûi;

donc

i" r^u) = — -r avec ^ = te *

Il faut remarquer enfin, avec cette dernière valeur de qr, la formule analogue à (63), donnant la période (O2. Nous avons ici

v/e,— ea = v^e**, V^,— ei=v^pe **

v^ej— 63 -+- V^j -e, = 2 v^cos^*

Ici p désigne la longueur e^ e^ {fig- 5? p- 276), côté du triangle Cs ^2^3, équilatéral en ce cas particulier. On a donc, pour la hauteur de ce triangle, l'expression

et par conséquent (58 C)

H/~ ki — T^

2 vi v^î cas -7 Prenons g^ = 4, avec ^2 = 0; alors (e^ étant égal à l'unité) on a