CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

La période ta des fonctions S, comme on l'a vu aux formules

(C), est

Tj= - H- - •— •

Prenons un second argument p', lié à ç par la relation

PH-p' = T, — i.

D'après les formules (38), nous aurons, 2^3 et Sr^ étant des fonctions paires,

•nv '^ — ^3t^' — ^o<*' ^o^-H^3<^ I

La fonction Q'(i') atteint donc la valeur^, pour

el, par conséquent, s atteint aussi la valeur .^ pour

Il est d'ailleurs aisé de voir que c'est là le seul argument ii^ purement imaginaire, compris entre zéro et to'^ en valeur absolue, pour lequel 5 atteigne la valeur ^. Si l'on veut, en effet, que 5 soit égal à ^, il faudra, dans la relation (69), que les deux quantités

y/ et — €3 ^pu — ei et /ej — ei ^pu — e^

soient proportionnelles à i + f et i — /, dont la somme des carrés est nulle. De là l'équation

/«2 — «3 (p w — «1 ) H- >/et — ei{p a — 63 ) = o,

dont la solution

p M = Ci — /ej — ei /^j — 63

nous fait retrouver p — > tel que nous l'avons obtenu au Cha-

pitre III (p. ^5).

La fonction 5 se réduit à ^/' pour u = o; elle est alors moindre que ^. Elle est donc moindre que ^ quand 11 est compris entre zéro

et A y supérieure à ^ quand u est compris entre ^ et-4»

rtTc r

Il est facile maintenant de fixer le mode de calcul de £/, quand pu est donné, inférieur à ej.

Si s (69) est moindre que j, on calculera v par Téquation

5 = Q'. Il y a une valeur de -r> comprise entre zéro et — ?■;

donc une valeur de -. comprise entre zéro et -7 -^ = -7 - • On a donc (58 C)

Dans l'expression de Q' les cosinus sont hyperboliques, et le maximum des cosanPTi est sensiblement { -7= ) • On voit donc que

la première approximation cos2Ç'Tr = -t= sera soumise à une er-

vq'

reur relative, qu'on peut comparer, dans les cas défavorables, à q^y dont le maximum est 6'"^= o,o43. . . . Ayant p, on en conclura

Si S est supérieur à ^, on calculera, non pas v^ mais p', par l'équation s = -Tr^n—r.y où l'on rencontrera les mêmes circonstances pour l'approximation; ayant p', on en conclura

Dans les applications, on trouvera toujours quelque moyen de rendre l'approximation plus rapide. Par exemple, quand u est purement imaginaire, voisin de | w^, ce qui est le cas le plus défavorable, on pourra, par les formules de multiplication, faire porter le calcul sur l'argument 4 w, voisin d'une période ; on se trouve alors dans le cas le plus favorable, les cosinus hyperboliques étant voisins de l'unité.

Nous avons raisonné dans l'hypothèse g:i> o. Pour le cas g's < o, on changera, dans ce qui précède, ei, 62, ^3, [q', pu en — e^y — ^2, — ei, g", — pu, conformément aux formules (D).