CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES
Manière dont varient les fonctions ^ d'arguments réels.
Nous supposerons l'un ou l'autre des deux cas qui correspondent aux invariants réels; ainsi q sera réel ou purement imaginaire.
Premier cas : q réel. — Envisageons les égalités
(X, jx, V = I, a, 3).
Faisons croître u depuis zéro jusqu'à aj| ; pu décroît constamment de + 00 à ei ; par conséquent, chacune des quatre dérivées secondes envisagées ici varie constamment dans un même sens, à
savoir ^-j log^w ^^TTt l^g^2"j ^^ première comme — pw, la seconde comme — ? c'est-à-dire en croissant; les deux autres comme
pu
) c'est-à-dire en décroissant. Prenons maintenant réeralilé
pu ^
suivante, déduite de (Sp A),
OÙ, bien entendu, l'indice zéro pour i doit être supprimé, et l'indice 4> pour 3, remplacé par zéro. Concluons que, ç' croissant de
zéro à ^, ^ log2»4 i^, -r-^ log&aP croissent constamment, et les
deux autres décroissent. D'ailleurs
La dérivée 3'^ p, dont le développement ne contient que des cosinus de multiples impairs de tzv, est nulle pour ^ = ^; en même temps
2^1 (ï)= '^yiq (i-^q^ -^q' -^q'^ -^...),
y, (1) = - 271» V^(i -+- 9^«-f- 25ye-f- 49^**-^-- •)
ont tous leurs termes, le premier, positifs; le second, négatifs. Donc T-j logSi p est négatif pour ^ = J, où il parvient en croissant.
Donc cette fonction est constamment négrative. Donc -sr— est con-
stamment décroissante; mais sa dernière valeur est zéro; cette fonction est donc positive. D'ailleurs ^^v, comme c^w, dont elle diffère par un facteur positif, est positive; doncâ'^ ç est positive; donc 2^1 V est constamment croissante. A cause de la relation (38 A)
et de la circonstance que 2r', v est nul pour ç; = ^, on voit que la fonction 3| ç varie d'une manière tout à fait analogue à celle de la fonction sinpir. En même temps, la fonction St^p =:= 2r|(ç; -j-i) varie absolument comme cosi^?:.
La fonction STs^^, comme (^2'^> ^^ devient jamais nulle pour des valeurs réelles de l'argument et reste toujours positive. Sa dérivée, dont tous les termes contiennent des sinus de multiples pairs de
P7Î, est nulle pour i^ == o et i^ = ^. Donc, v variant de zéro à ^, ^—
part de zéro et y revient, passant par un ou plusieurs maicima ou
minima. Mais sa dérivée ^-^ logSTaC croît constamment; donc la
fonction passe par un seul minimum, sans aucun maximum. Donc ^'^v est négative; donc ^^ç est décroissante. Cette fonction a un maximum pour ç^ == o, un minimum pour ^ = ^; elle est analogue, entre ces deux valeurs, à un arc de sinusoïde, et se reproduit ensuite de part et d'autre, comme le montrent les égalités ^3(^ + i) = ^z^ et 33( — ^) = 33i^.
La fonction 2foÇ =z2f2{i^ -h ^) suit la marche inverse.
On voit que l'allure de ces deux dernières fonctions est semblable à celle des deux fonctions i zt 2y cos2('7:, où tj serait supposé compris entre zéro et ^. Cette circonstance est d'autant plus remarquable que la quantité <jr, dans les séries 2?, peut recevoir toutes les valeurs de zéro à Tunité; pour les valeurs de q supérieures k^, la forme même des séries laisserait dilficilement apercevoir la régularité des fonctions.
Deuxième cas : q purement imaginaire. — Il faut ici considérer,
non plus Si v, mais son quotient par v<jr, qui ne contient plus que
